¿Cuál es la forma más fácil para mí de hacer la integración por partes en mi cabeza?

Si no conoce el método tabular de integración por partes, debe aprender esto.
Aquí hay una buena fuente. http://www.maa.org/pubs/Calc_art…

Los problemas más fáciles para practicar son x ^ n veces una función trigonométrica. Una vez que se sienta cómodo usando la tabla, intente escribir la respuesta a algunos problemas sin ella, solo lentamente. Con x ^ n * Sin (x) o una función similar, el pecado de todos los valores no cambia. Puede revisar la integral completa en pequeños pasos de integraciones simples y derivados.

Si desea integrar x ^ 2 * Cos (a * x):

Gracias a Giordon Stark por mejorar esta respuesta.