Bueno, realmente depende de a qué teoría de String te refieres. A veces aparece en algunas teorías de cuerdas y otras teorías nunca enfrentan la atrocidad de series divergentes. Me gustaría explicar un lugar muy interesante donde ocurre en una forma de teoría de cuerdas que da lugar a 26 dimensiones, y en el camino nos encontraremos con cosas extrañas como energías negativas y masas imaginarias:
Voy a suponer algunas cosas que quizás sepas. el primero es que desde la relatividad especial, tenemos la identidad [matemática] E ^ 2 = m ^ 2 + p ^ 2 [/ matemática]. Aquí, estoy configurando h-bar = c = 1, que es una convención estándar en la teoría de cuerdas. Otra identidad que usaré es la energía de un oscilador armónico cuántico que viene dada por [math] E_n = (n + 1/2) \ omega [/ math], donde [math] \ omega [/ math] es el frecuencia del oscilador yn es lo que se llama el modo. Explicaré lo que quiero decir con esto a continuación. También voy a suponer que sabes lo que es la expansión binomial.
Entonces, comencemos con nuestra primera ecuación, [matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2 + p ^ 2 [/ matemáticas]. Antes de comenzar a hacer algo de teoría de cuerdas, hagamos algo de física clásica, y para eso, solo por el momento, escribamos las c en nuestra ecuación.
[matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 = m ^ 2 * c ^ 4 (1 + p ^ 2 / (m ^ 2c ^ 2)) [/ matemáticas]
Ahora tomando la raíz cuadrada, se convierte en
[matemáticas] E = mc ^ 2 \ sqrt (1 + p ^ 2 / (m ^ 2 * c ^ 2)) [/ matemáticas]
Ahora expandiendo binomialmente esto, obtenemos
[matemáticas] E = mc ^ 2 (1 + 1/2 * p ^ 2 / (m ^ 2 * c ^ 2) +…) = mc ^ 2 + p ^ 2 / 2m +… [/ matemáticas]
Ahora, para los sistemas clásicos, es decir, donde p no es comparable con la velocidad de la luz, los otros términos se pueden despreciar razonablemente. Como tal, la ecuación de movimiento se convierte en
[matemáticas] E = mc ^ 2 + p ^ 2 / 2m [/ matemáticas]
Donde la parte [math] mc ^ 2 [/ math] es la energía de algo que no se mueve y la parte [math] p ^ 2 / 2m [/ math] es la energía cinética. Entonces, hemos extrapolado la mecánica clásica de las ecuaciones de la relatividad especial.
Sin embargo, (aquí viene la teoría de cuerdas) también podemos suponer que en una dirección del espacio, tal vez la dirección z, la partícula se mueve muy rápido, cerca de la velocidad de la luz. Luego, la relatividad especial establece que el impulso se vuelve mucho más grande, mucho más grande que c. En ese caso, podemos escribir la ecuación de una manera diferente.
[matemáticas] E = p_z ^ 2 * c ^ 2 (1 + p_x ^ 2 / p_z ^ 2 + p_y ^ 2 / p_z ^ 2 + m ^ 2 * c ^ 2 / p_z ^ 2) [/ matemáticas]
Muy bien, escribir [matemáticas] p_x [/ matemáticas] y [matemáticas] p_y [/ matemáticas] por separado es agotador, así que voy a llamar a la suma de ellas [matemáticas] p ‘[/ matemáticas] pero tenga en cuenta que eso ya significa 2 direcciones. Ahora haciendo la misma prueba de sacar la raíz cuadrada y hacer la expansión binomial (y también nuevamente establecer c = 1), uno obtiene las ecuaciones de movimiento para las cadenas en esta teoría que es:
[matemáticas] E = p_z + p ‘^ 2 / (2 * p_z) + m ^ 2 / (2 * p_z) [/ matemáticas]
Para todos los efectos, lo que realmente nos interesa es qué puede cambiar porque lo que se puede medir en nuestras teorías son objetos cambiantes. Entonces, la ecuación es realmente
[matemáticas] E = p ‘^ 2 / (2 * p_z) + m ^ 2 / (2 * p_z) [/ matemáticas]
dado que [math] p_z [/ math] es realmente una constante porque cambiarlo requeriría mucha energía. Ahora, en este caso, el término similar a la energía cinética es [math] p ‘^ 2 / (2 * p_z) [/ math] porque es el que realmente depende del movimiento de las partículas. Lo que nos deja sin el término similar a la energía en reposo de [matemáticas] m ^ 2 / (2 * p_z) [/ matemáticas].
Entonces, a diferencia de la mecánica clásica, donde la energía en reposo de un sistema está dada por [matemáticas] E = m [/ matemáticas] (configuración c = 1), en esta versión de la teoría de cuerdas, está dada por [matemáticas] E = m ^ 2 / 2p_z [/ math] entonces el cuadrado de la masa. Ahora, por razones que son difíciles de explicar, es beneficioso establecer también [math] 2p_z = 1 [/ math] y así la energía viene dada por [math] E = m ^ 2 [/ math]. Ahora de nuevo voy a dar un salto. Es difícil de explicar, pero en esta forma de teoría de cuerdas, resulta que para el estado fundamental, es decir, la energía más baja posible de la cuerda, resulta [matemáticas] m ^ 2 = -1 [/ matemáticas] (¿QUÉ?) Y entonces la energía que necesitamos es [matemática] -1 [/ matemática].
Ahora determinemos qué nos puede dar esta energía. Para hacer esto, pasemos a la teoría del campo cuántico. Esencialmente, en QFT, cada dimensión del espacio está hecha de algo llamado osciladores armónicos. Entonces, en esencia, el espacio no está completamente vacío, sino que es un estado cuántico, y también tiene una función de onda. Esta función de onda del espacio vacío está compuesta por osciladores armónicos. Un oscilador armónico clásico es como un resorte ideal. Si lo jalas y lo dejas ir, se balancea hacia adelante y hacia atrás para siempre. La velocidad a la que va depende de la primavera, por supuesto, pero ignoremos eso y digamos que se balancea 2 veces por segundo. Entonces tiene una frecuencia de 2 hertzios. En mecánica cuántica, la frecuencia solo puede venir en enteros, por lo que solo puede ser 1 o 2 o 3 o lo que sea. Entonces, ahora llegamos a otro problema, ¿cómo es exactamente el movimiento? Si tiene algo así como una cuerda de violín, y lo arranca desde el medio, manteniendo los dos extremos hacia abajo, vibrará (o sacudirá) de una manera diferente de si mantiene el centro y los dos extremos hacia abajo y luego lo arranca. Sé que esto es extraño y poco intuitivo de la forma en que lo presenté aquí, pero aquí está el punto principal: en el vacío, todos los osciladores armónicos están en su punto más bajo, por lo que la ecuación de onda no tiene nodos. En la ecuación para la energía, [matemática] E_n = (n + 1/2) \ omega [/ matemática] la n representa el número de nodos, por lo que para el vacío, la Energía se convierte en [matemática] E = \ omega / 2 [/ math] para que el vacío tenga algo de energía. La energía del vacío es lo que se llama el estado fundamental, o la energía más baja que es posible para un sistema.
Ok, para la cuerda, la energía más baja posible es, nuevamente, el estado fundamental, y como dije, hay osciladores infinitos, todos con frecuencias enteras. Entonces la energía total es
[matemáticas] E = 1/2 + 2/2 + 3/2 + 4/2 +… = 1/2 (1 + 2 + 3 + 4 +…) [/ matemáticas]
Ahora aquí es donde entra la magia: [matemática] 1 + 2 + 3 + 4 +… = -1 / 12 [/ matemática] por lo que la energía total se convierte en, [matemática] E = -1 / 24 [/ matemática].
Pero lo que necesitamos es [matemáticas] E = -1 [/ matemáticas]. Esa [matemática] -1/24 [/ matemática] es solo para una dimensión de espacio en la que la cadena puede moverse, digamos el eje x. Poniendo también en el eje y, esto se convierte en [matemáticas] E = -1 / 24 + -1 / 24 = -2 / 24 [/ matemáticas]. Pero necesitamos -1, por lo que simplemente agregamos más direcciones de espacio, 24 de hecho, para dar la energía total para que sea [matemática] E = -24 / 24 = -1 [/ matemática]. Como tal, hay 24 direcciones en las que la cuerda puede moverse. A eso debemos agregar la otra dirección que es z (en la que realmente no puede moverse porque ya se está moviendo muy rápido) y el tiempo, dando un total de 26 dimensiones.
