Antes de responder a su pregunta, me gustaría aclarar algo.
Deje que [math] \ mathcal {G} [/ math] sea la familia de todos los gráficos etiquetados posibles con el conjunto de vértices V = [n] = {1, .., n}.
El modelo original Erdős – Rényi tiene dos parámetros, nym, el número de vértices y aristas, respectivamente. El modelo original asignó la misma probabilidad entre todos [matemática] G \ in \ mathcal {G} [/ math] con exactamente m bordes. Como existen gráficos [matemática] {{n \ elegir 2} \ elegir m} [/ matemática] en [matemática] \ matemática {G} [/ matemática] con m bordes, la probabilidad es 1 / [matemática] {{n \ elegir 2} \ elegir m} [/ math]. Gilbert había introducido un modelo con dos parámetros, n y p, el número de vértices y la probabilidad de un borde entre dos vértices. Por lo tanto, la medida de probabilidad de [matemáticas] G \ en \ matemáticas {G} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] p ^ {| E (G) |} (1-p) ^ {{n \ elegir 2} – | E (G) |} [/ matemáticas]
Estos dos modelos están estrechamente relacionados a través de un modelo de equivalencia asintótica que dice más o menos que puedes pensar en G (n, m) como G (n, p) con [math] p = m / {n \ choose 2} [/ math ] cuando estudias tu propiedad teórica gráfica favorita. Esta equivalencia es particularmente fuerte cuando las propiedades que le interesan son monótonas que aumentan o disminuyen.
[Una propiedad [math] \ mathcal {P} [/ math] es un conjunto de gráficos. Llamamos a una propiedad de gráfico monótono que aumenta si [math] G \ in \ mathcal {P} [/ math] implica [math] G + e \ in \ mathcal {P} [/ math], es decir, agregar un borde no destruye propiedad. Una definición análoga es válida para una propiedad decreciente].
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Dada esta equivalencia asintótica y dado que el modelo G (n, p) es más fácil de trabajar debido a la independencia de los bordes, se lo conoce como el modelo Erdős – Rényi .
Una de las propiedades más llamativas del modelo Erdős – Rényi es la forma abrupta en que aparecen las propiedades. Esto se cuantifica a través del concepto de umbrales. Específicamente, una función [matemática] p ^ * = p ^ * (n) [/ matemática] es un umbral para una propiedad monótona creciente [matemática] \ matemática {P} [/ matemática] en un gráfico aleatorio G (n, p ) si [math] \ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} Pr (G \ in \ mathcal {P}) [/ math] es igual a 0 si [math] p \ ll p ^ * [/ math] y 1 si [matemáticas] p ^ * \ ll p [/ matemáticas].
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Aquí está el primer teorema sorprendente que puede encontrar en este documento Propiedades hereditarias y monótonas de gráficos
Teorema: cada propiedad de gráfico monótono tiene un umbral.
Si tuviera que elegir una segunda propiedad importante, esta sería la transición de fase en el tamaño del componente gigante conectado que experimenta un modelo Erdős – Rényi . Si p> 1 / n, entonces existe un componente gigante conectado que abarca vértices [matemáticos] \ Omega (n) [/ matemáticos]. Si p <1 / n, entonces el orden del componente conectado más grande es O (log (n)). Por lo tanto, puede ver que un pequeño cambio en p resulta en un cambio exponencial en el tamaño del componente conectado más grande.
Aquí aparece una prueba muy simple [1201.6529] La transición de fase en gráficos aleatorios. La prueba original se debe a Erdős y Rényi .
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