¿Cuál es el primer dígito distinto de cero en 50 factorial (50!)? ¿Cómo obtuviste la respuesta (sin una calculadora)?

Primero, el exponente de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] 50! [/ Matemáticas] es [matemáticas] 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47 [/ matemáticas], y el exponente de [matemáticas] 5 [/ math] en [math] 50! [/ Math] es [math] 10 + 2 = 12 [/ math] (según la fórmula de De Polignac), por lo que estamos buscando [math] \ tfrac {50!} {10 ^ {12}} \ bmod {10} [/ math]. Como [math] \ tfrac {50!} {10 ^ {12}} [/ math] es par (de hecho, divisible por [math] 2 ^ {35} [/ math]), es suficiente para calcularlo [math ] \ bmod 5 [/ math]:

[matemáticas] \ tfrac {50!} {5 ^ {12}} \ equiv (4! \ cdot 1 \ cdot 4! \ cdot 2 \ cdot 4! \ cdot 3 \ cdot 4! \ cdot 4 \ cdot 4!) \ cdot 1 \ cdot {} [/ math]
[matemáticas] (4! \ cdot 1 \ cdot 4! \ cdot 2 \ cdot 4! \ cdot 3 \ cdot 4! \ cdot 4 \ cdot 4!) \ cdot 2 [/ math]
[matemáticas] = 4! ^ {10} \ cdot 4! ^ 2 \ cdot 2! [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv (-1) ^ {10} \ cdot (-1) ^ 2 \ cdot 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv 2 \ pmod 5 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ tfrac {50!} {10 ^ {12}} \ equiv 2 \ cdot 2 ^ {- 12} \ equiv 2 \ cdot (2 ^ 4) ^ {- 3} \ equiv 2 \ pmod 5 [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] \ tfrac {50!} {10 ^ {12}} \ equiv 2 \ pmod {10} [/ matemáticas].

(Aunque estos son fáciles de comprobar a mano, [matemáticas] 4! \ Equiv -1 \ pmod 5 [/ matemáticas] también es un caso del teorema de Wilson, y [matemáticas] 2 ^ 4 \ equiv 1 \ pmod 5 [/ matemáticas ] del pequeño teorema de Fermat.)

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En realidad, hay una manera de encontrar el primer dígito distinto de cero de [math] n! [/ Math] para arbitrariamente grande [math] n [/ math] en [math] O (\ log n) [/ math] basado en el tiempo sobre el trabajo de Kakutani sobre la teoría ergódica, comenzando con la escritura [matemáticas] n [/ matemáticas] en la base 5. Vea el documento original (Teoría ergódica de las transformaciones de turno) y una explicación con algunos ejemplos ( http: //www.mathematik.uni- bielef …) para más detalles.

Vladimir Novakovski

La respuesta es 2, vea la explicación a continuación.

Estos son los números primos de hasta 50, todo lo que necesita para encontrarlos es papel, lápiz y el tamiz de Eratóstenes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 , 43, 47.

¡Ahora podemos calcular la factorización de 50! usando la respuesta a ¿Cuáles son algunos algoritmos eficientes para calcular la factorización prima de n! (n factorial)?

  primo, exponente
 2, 47 = 25 + 12 + 6 + 3 + 1
 3, 22 = 16 + 5 + 1
 5, 12 = 10 + 2
 7, 8 = 7 + 1
 11, 4
 13, 3
 17, 2
 19, 2
 23, 2
 29, 1
 31, 1
 37, 1
 41, 1
 43, 1
 47, 1

¡La potencia más grande de 10 que divide 50! es, por lo tanto, max (47, 12) = 12, por lo que tendrá 12 ceros a la derecha.

En otras palabras, ¡lo que estamos buscando es el dígito menos significativo de 50! / 10 ^ 12.
Tenga en cuenta que ya tenemos la factorización de 50! / 10 ^ 12: solo resta 12 de los exponentes de 2 y 5.

Ahora podemos reensamblar el número que estamos buscando:
50! / 10 ^ 12 = 2 ^ 35 * 3 ^ 22 * 5 ^ 0 * 7 ^ 8 * 11 ^ 4 * 13 ^ 3 * 17 ^ 2 * 19 ^ 2 * 23 ^ 2 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47

De acuerdo, pero solo necesitamos el último dígito, entonces:
x = 2 ^ 35 * 3 ^ 22 * 5 ^ 0 * 7 ^ 8 * 11 ^ 4 * 13 ^ 3 * 17 ^ 2 * 19 ^ 2 * 23 ^ 2 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 mod 10
Tomando todos los primos módulo 10:
x = 2 ^ 35 * 3 ^ 22 * 5 ^ 0 * 7 ^ 8 * 1 ^ 4 * 3 ^ 3 * 7 ^ 2 * 9 ^ 2 * 3 ^ 2 * 9 * 1 * 7 * 1 * 3 * 7 mod 10
Coleccionar:
x = 2 ^ 35 * 3 ^ 34 * 7 ^ 12 mod 10

Observe cómo las potencias de 2, 3 y 7 forman ciclos módulo 10:
2, 4, 8, 6, 2, …
3, 9, 7, 1, 3, …
7, 9, 3, 1, 7, …
(Curiosamente, todos estos ciclos tienen una duración 4).

35 mod 4 = 3, entonces 2 ^ 35 mod 10 = 8.
34 mod 4 = 2, entonces 3 ^ 34 mod 10 = 9.
12 mod 4 = 0, entonces 7 ^ 12 mod 10 = 1.

Lo que estamos buscando es entonces 8 * 9 * 1 mod 10 = 72 mod 10 = 2.

Anders Kaseorg

Este método es visualizable en lugar de teórico:

Si podemos factorizar todos los factores de 10 que dan lugar a ceros a la derecha, entonces el dígito más a la derecha del resultado será el mismo que el dígito más a la derecha de cero.

¡Alineemos los factores de 50! en una mesa:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Factoriza 10 ^ 5 de la última columna:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 2
21 22 23 24 25 26 27 28 29 3
31 32 33 34 35 36 37 38 39 4
41 42 43 44 45 46 47 48 49 5

Factoriza 2 ^ 5 * 5 ^ 5 = 10 ^ 5 de las columnas 2 y 5:

01 01 03 04 1 06 07 08 09 1
11 06 13 14 3 16 17 18 19 2
21 11 23 24 5 26 27 28 29 3
31 16 33 34 7 36 37 38 39 4
41 21 43 44 9 46 47 48 49 5

Factoriza 10 ^ 2, que es el producto de los factores 25, 50 y 40:

01 01 03 04 1 06 07 08 09 1
11 06 13 14 3 16 17 18 19 2
21 11 23 24 1 26 27 28 29 3
31 16 33 34 7 36 37 38 39 1
41 21 43 44 9 46 47 48 49 1

En este punto no quedan factores de 5, por lo que no se pueden factorizar más 10s.
Los factores de 5 solo podrían provenir de las columnas 5 y 10.

El dígito más bajo del producto de estos factores será el mismo que el último dígito del producto del dígito más bajo de cada factor, que son:

1 1 3 4 1 6 7 8 9 1
1 6 3 4 3 6 7 8 9 2
1 1 3 4 1 6 7 8 9 3
1 6 3 4 7 6 7 8 9 1
1 1 3 4 9 6 7 8 9 1

Las columnas 3, 4 y 6, 7, 8, 9 conservan cada una los 5 factores de su último dígito.
Para ver esto más claramente, eliminemos los 1s:

3 4 6 7 8 9
6 3 4 3 6 7 8 9 2
3 4 6 7 8 9 3
6 3 4 7 6 7 8 9
3 4 9 6 7 8 9

Entonces tenemos (3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9) ^ 5 veces los factores restantes que son:

6 3 2
3
6 7
9 9

Su producto es (6 * 3 * 2 * 6) * (3 * 9) * 7 = 6 ^ 3 * 3 ^ 3 * 7 = 18 ^ 3 * 7.

Entonces, todo el producto es: (3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9) ^ 5 * 18 ^ 3 * 7 = (12 * 42 * 72) ^ 5 * 18 ^ 3 * 7

Podemos seguir reduciendo cada factor a su último dígito:

≡ (2 * 2 * 2) ^ 5 * 8 ^ 3 * 7 = 8 ^ 8 * 7 = 64 ^ 4 * 7 ≡ 4 ^ 4 * 7 ≡ 256 * 7 ≡ 6 * 7 ≡ 2.

Joseph Boyle

Para números de 2 dígitos, si Z (N) denota el último dígito distinto de cero de N !, se aplicará la siguiente fórmula:

Z (N) = último dígito de (4 * Z (N / 5) * Z (dígito de unidad de N)) si el dígito de N de diez es impar
= último dígito de (6 * Z (N / 5) * Z (dígito de unidad de N)) si el dígito de diez de N es par

Para 0 <= N <= 10, los valores son más fáciles de calcular previamente:

Z (0) = 1, Z (1) = 1, Z (2) = 2, Z (3) = 6, Z (4) = 4, Z (5) = 2, Z (6) = 2, Z (7) = 4,
Z (8) = 2, Z (9) = 8, Z (10) = 8

En este caso para N = 50

Z (50) = último dígito de 4 * Z (50/5) * Z (0)
= último dígito de 4 * Z (10) * 1
= último dígito de 4 * 8
= último dígito de 32

así que el último dígito será 32 mod 10 = 2

Anders Kaseorg

Primero veamos cuántos ceros hay para encontrarlo, hay números 5 y 2 porque cuando multiplicamos da 10 pero hay muchos 2 en número, así que simplemente encuentre cuántos 5 hay. Para hacer eso, divide el factorial entre 5 y multiplica por 2

(N! / 5)! * 2 ^ (N / 5)

(50/5)! * 2 ^ (50/5)

10! * 2 ^ 10 nuevamente 10 se puede dividir por 5

(10/5)! * 2 ^ (10/5)

2! * 2 ^ 2

Ahora (2! * 2 ^ 2) * 2 ^ 10

2 * 4 * 4

2 es respuesta

http://m.wolframalpha.com/input/ …

Anders Kaseorg

Hay una fórmula fácil para esto llamada método de Gajen

¡Sea U [N!] El primer dígito distinto de cero en N!

Deje que la potencia más alta de 5 en N es P y R1, R2, etc. son los restos cuando N se divide sucesivamente por 5, entonces

U [N!] = U [2 ^ p] XU [R1!] XU [R2!] Etc.

Por favor encuentre ejemplos resueltos

Un enfoque fácil para encontrar el primer dígito distinto de cero en (n!) – Método de Gajen

Joseph Boyle

¡Digamos el último dígito distinto de cero en 50! es D [50]
podemos escribir 50 como [matemáticas] 25 * 2 + 0 [/ matemáticas]
entonces, D [50!] = (4 ^ 2 * D [2!] * D [0!]) mod 10 = (6 * 2) mod 10 = 2

Bonificación: he aprendido esta técnica de uno de mis amigos.

según el cual [matemáticas] n = 25 * a + b [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] D [n!] = (4 ^ a * D [a!] * D [b!]) mod 10 [/ matemáticas]

para un número más pequeño, considere [matemáticas] n = 5 * a + b [/ matemáticas] y [matemáticas] D [n] = (2 ^ a * D [a!] * D [b!]) mod 10 [/ matemáticas ]
de manera similar si dividimos n en 125, entonces escribimos 8 en lugar de 2 o 4.

Anders Kaseorg

mi solución se refiere a la mayoría de los dígitos distintos de cero

R (n!) – derecha más dígito distinto de cero

R (n!) = Último dígito [2 ^ ax R (a!) X R (b!)]

n = 5xa + b

R (50!) = Último dígito [2 ^ 10 xR (10!)]; 50 = 5 × 10 + 0;

R (10!) = Último dígito [2 ^ 2 xR (2!)] = 8

R (50!) = Último dígito [4 × 8] = 2

Joseph Boyle

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