¿Puedes encontrar el ortocentro de un triángulo formado por los puntos A (0,4,1), B (2,3, -1) y C (4,5,0)?

¿Cómo encuentro el ortocentro de un triángulo con vértices dados como (0,4,1), (2,3, -1) y (4,5,0)?

Los puntos dados son [matemática] \ text {A} \ left (0,4,1 \ right), [/ math] [math] \ text {B} \ left (2,3, -1 \ right), [ / math] y [math] \ text {C} \ left (4,5,0 \ right). [/ math]

El ortocentro, [matemática] \ text {H}, [/ matemática] de tres puntos, [matemática] \ text {A}, [/ matemática] [matemática] \ text {B}, [/ matemática] y [matemática] \ text {C}, [/ math] es la coincidencia de las tres altitudes de [math] \ triangle \ text {ABC}. [/ math]

Puntos [math] \ text {A}, [/ math] [math] \ text {B}, [/ math] y [math] \ text {C} [/ math] junto con su ortocentro, [math] \ text {H} [/ math] forma un sistema ortocéntrico en el que cada uno de los puntos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, siempre que \ triangle \ text {ABC} no sea un triángulo rectángulo.

Primero describiré el método general y luego señalaré algo particularmente interesante sobre este triángulo.

Método general

Primero, encuentre un vector normal al plano, [math] \ vec {N} = \ vec {\ text {AB}} \ times \ vec {\ text {BC}}. [/ Math] (If [math] \ vec {N} [/ math] es el vector cero, luego sus tres puntos son colineales y el ortocentro no está definido).

Luego, encuentra los vectores de altitud.

La altitud a [math] \ text {A} [/ math] es paralela a [math] \ vec {\ text {A} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {BC }}, [/ math] por lo que la forma paramétrica de la altitud es [math] \ vec {\ text {A}} + s \ vec {\ text {A} ‘} [/ math]

La altitud a [math] \ text {B} [/ math] es paralela a [math] \ vec {\ text {B} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {CA }}, [/ math] por lo que la forma paramétrica de la altitud es [math] \ vec {\ text {B}} + t \ vec {\ text {B} ‘} [/ math]

La altitud a [math] \ text {C} [/ math] es paralela a [math] \ vec {\ text {C} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {AB }}, [/ math] por lo que la forma paramétrica de la altitud es [math] \ vec {\ text {C}} + u \ vec {\ text {C} ‘} [/ math]

De hecho, solo necesitaba encontrar dos de las altitudes, porque las tres altitudes coinciden en el ortocentro. Para encontrar este punto, debe resolver los parámetros, [matemática] s, [/ matemática] [matemática] t, [/ matemática] y [matemática] u. [/ Matemática]

Al equiparar componentes, tiene nueve ecuaciones con tres incógnitas, que normalmente serían más que suficientes para resolver las incógnitas. Sin embargo, encontrará que las ecuaciones no son independientes, por lo que es posible que tenga que mirar hasta seis ecuaciones para encontrar soluciones únicas para los parámetros.

Las ecuaciones son:

[matemáticas] \ qquad \ begin {array} {ccc} \ text {A} _x \! + \! s \ text {A} ‘_ x \! = \! \ text {B} _x \! + \! t \ texto {B} ‘_ x & \ text {A} _y \! + \! s \ text {A}’ _ y \! = \! \ text {B} _y \! + \! t \ text {B} ‘_ y & \ text {A} _z \! + \! s \ text {A} ‘_ z \! = \! \ text {B} _z \! + \! t \ text {B}’ _ z \\ \ text {B } _x \! + \! t \ text {B} ‘_ x \! = \! \ text {C} _x \! + \! u \ text {C}’ _ x & \ text {B} _y \! + \ ! t \ text {B} ‘_ y \! = \! \ text {C} _y \! + \! u \ text {C}’ _ y & \ text {B} _z \! + \! t \ text {B } ‘_ z \! = \! \ text {C} _z \! + \! u \ text {C}’ _ z \\ \ text {C} _x \! + \! u \ text {C} ‘_ x \! = \! \ text {A} _x \! + \! s \ text {A} ‘_ x & \ text {C} _y \! + \! u \ text {C}’ _ y \! = \! \ text { A} _y \! + \! S \ text {A} ‘_ y & \ text {C} _z \! + \! U \ text {C}’ _ z \! = \! \ Text {A} _z \! + \! s \ text {A} ‘_ z \ end {array} [/ math]

Aquí, también, puede ahorrarse algo de tiempo con solo encontrar el valor de uno de los tres parámetros, porque eso es todo lo que necesita para encontrar el ortocentro.

El caso especial del triángulo rectángulo

Si [math] \ triangle \ text {ABC} [/ math] es un triángulo rectángulo, entonces el ortocentro es el mismo punto que el vértice del ángulo recto.

Si sigue el procedimiento anterior, encontrará que uno de los parámetros es cero.

Alternativamente, si encuentra los productos de punto [math] \ vec {\ text {CA}} \ cdot \ vec {\ text {AB}}, [/ math] [math] \ vec {\ text {AB}} \ cdot \ vec {\ text {BC}}, [/ math] y [math] \ vec {\ text {BC}} \ cdot \ vec {\ text {CA}}, [/ math] y encuentra que uno de ellos es cero, entonces este es el ángulo recto, y el ortocentro es el mismo punto que el vértice del ángulo recto.

En nuestro triangulo

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {BC}} = \ langle 2,2,1 \ rangle, [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {CA}} = \ langle -4, -1,1 \ rangle, [/ math] y

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {AB}} = \ langle 2, -1, -2 \ rangle, [/ math]

entonces [math] \ vec {\ text {CA}} \ cdot \ vec {\ text {AB}} = -9, [/ math] [math] \ vec {\ text {AB}} \ cdot \ vec {\ text {BC}} = 0, [/ math] y [math] \ vec {\ text {BC}} \ cdot \ vec {\ text {CA}} = -9. [/ math]

Vértice [matemática] \ text {B} [/ matemática] es un ángulo recto, por lo que el ortocentro, [matemática] \ text {H} [/ matemática] está en el punto [matemática] \ text {B} \ izquierda (2, 3, -1 \ derecha). [/ Matemáticas]

Usando el método

Solo para mostrar que el método funciona, voy a seguir adelante y pretender que no sabía que ya habíamos encontrado el ortocentro …

El vector normal al plano del triángulo es [math] \ vec {\ text {CA}} \ times \ vec {\ text {AB}} [/ math] [math] = \ langle -4, -1,1 \ rangle ~~ \ times ~~ \ langle 2, -1, -2 \ rangle [/ math] [math] ~~ = ~~ \ langle 3, -6,6 \ rangle. [/ math]

A continuación, encontramos los vectores de altitud.

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {A} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {BC}} = \ langle 18, -9, -18 \ rangle [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {B} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {CA}} = \ langle 0,27,27 \ rangle [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ vec {\ text {C} ‘} = \ vec {\ text {N}} \ times \ vec {\ text {AB}} = \ langle -18, -18, -9 \ rangle [ /matemáticas]

Ahora, para encontrar el punto de intersección de las altitudes, equiparamos los componentes de las ecuaciones paramétricas de las altitudes, dándonos nueve ecuaciones en tres incógnitas:

[matemáticas] \ qquad \ begin {array} {ccc} 0 + 18s \! = \! 2 + 0t & 4-9s \! = \! 3 + 27t & 1-18s \! = \! – 1 + 27t \ \ 2 + 0t \! = \! 4-18u & 3 + 27t \! = \! 5-18u & -1 + 27t \! = \! 0-9u \\ 4-18u \! = \! 0 + 18s & 5-18u \! = \! 4-9s & 0-9u \! = \! 1-18s \ end {array} [/ math]

Realmente solo necesita encontrar uno de los parámetros, pero aquí están los tres: [matemática] s = \ dfrac {1} {9}, [/ matemática] [matemática] t = 0, [/ matemática] [matemática] u = \ dfrac {1} {9}. [/ math]

Ahora, usando [math] \ vec {\ text {A}} + s \ vec {\ text {A} ‘}, [/ math] [math] H = \ left (0,4,1 \ right) + \ left (\ dfrac {1} {9} \ right) \ langle 18, -9, -18 \ rangle. [/ math] [math] = \ left (2,3, -1 \ right). [/ math]

El ortocentro de un triángulo en ángulo recto está en su vértice en ángulo recto …

La longitud de AB es 3
La longitud de BC es 3
La longitud de AC es sqrt (18)

obviamente AB ^ 2 + BC ^ 2 = AC ^ 2. lo que significa que este es un triángulo rectángulo con vértice recto en la página en b. por lo tanto, el ortocentro de este triángulo es B (2,3, -1)

Sea [matemático] A = (0,4,1) B = (2,3, -1) C = (4,5,0) [/ matemático] y ortocentro [matemático] O = (h, k, l) [/matemáticas]

(1) [matemática] \ overline {AO} \ perp \ overline {BC} [/ math] su producto punto debe ser 0.

(2) [matemática] \ overline {BO} \ perp \ overline {AC} [/ math] su producto punto debe ser 0.

(3) La 3a ecuación se obtiene considerando O como coplanar con A, B y C.

Para este se puede tomar triple producto. [matemáticas] \ overline {AO}. (\ overline {BC} \ times \ overline {AC}) = 0. [/ math]

resolviendo las 3 ecuaciones obtenemos ortocentro.

No es un triángulo sino un tetraedro del que estás hablando. Un triángulo tendrá solo coordenadas (x, y).