¿Puedes “probar” que [matemática] \ bf {\ text {log} 2 = 0} [/ matemática] reorganizando los términos de la serie armónica alterna?
¡Seguro! Aquí está la prueba de broma.
[matemáticas] \ begin {align} \ log2 & = 1 \! – \! \ frac12 \! + \! \ frac13 \! – \! \ frac14 \! + \! \ frac15 \! – \! \ frac16 + \ cdots \ \ ~ \\ & = \ left (\! 1 \! + \! \ frac13 \! + \! \ frac15 + \ cdots \! \ right) \! – \! \ left (\! \ frac12 \! + \! \ frac14 \! + \! \ frac16 + \ cdots \! \ right) \\ ~ \\ & = \ left (\! \ left (\! 1 \! + \! \ frac13 \! + \! \ frac15 + \ cdots \! \ right) \! + \! \ left (\! \ frac12 \! + \! \ frac14 \! + \! \ frac16 + \ cdots \! \ right) \! \ right) -2 \ left (\! \ frac12 \! + \! \ frac14 \! + \! \ frac16 + \ cdots \! \ right) \\ ~ \\ & = \ left (\! 1 \! + \! \ frac12 \! + \! \ frac13 \! + \! \ frac14 \! + \! \ frac15 \! + \! \ frac16 + \ cdots \! \ right) – \ left (\! 1 \! + \! \ frac12 \! + \! \ frac13 \ ! + \! \ frac14 \! + \! \ frac15 \! + \! \ frac16 + \ cdots \! \ right) \\ ~ \\ & = 0 \ end {align} [/ math]
- ¿Soy elegible para obtener un doctorado después de hacer una maestría en matemáticas a través del aprendizaje a distancia de la Universidad Annamalai? ¿Se reconoce la UGC de educación a distancia de Annamalai?
- ¿Cuál es el valor absoluto de [matemáticas] i [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que una declaración es indecidible
- ¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes de prueba por contrapositivo?
- ¿Qué es la teoría de la relatividad?
La broma es que cuando una serie alterna converge, pero no converge absolutamente, [1] entonces sus términos se pueden reorganizar para converger a un valor diferente, o no converger en absoluto.
En esta prueba de broma, no solo reorganizo los términos, sino que los rompo en pedazos primero y luego los reorganizo. Reescribo términos como [math] \ frac {-1} {14} [/ math] como [math] \ frac {1} {14} – \ frac {1} {7} [/ math] antes de mover estas piezas para hacer un par de series que no convergen en absoluto, y resta una de la otra para obtener cero. Totalmente falso!
Pero también podría reorganizar los términos de esta serie armónica alterna para lograr que converja a cero sin la locura adicional de restar infinitos. Imagínese que es un cajero y está atendiendo dos colas: una cola de términos positivos y otra cola de términos negativos. Para cada transacción, toma los términos de una cola u otra, y mantiene un total acumulado de la suma parcial hasta el momento. Si la suma parcial hasta ahora es negativa, toma un término de la cola positiva, y si la suma parcial es positiva, toma un término de la cola negativa. Este proceso define el nuevo orden de los términos. En cualquier momento, los términos restantes en cada cola tendrán una suma infinita: infinitamente positiva para una cola e infinitamente negativa para la otra. Por lo tanto, nunca se encontrará en una situación en la que deba tomar todos los términos restantes de una cola u otra. Un número finito de términos de cualquiera de las colas cambiará el signo de la suma parcial. Por lo tanto, puede estar seguro de que para cualquier [matemática] N [/ matemática] siempre podrá tomar el término [matemática] N ^ {\ text {th}} [/ matemática], ya sea en la cola positiva o La cola negativa.
Aquí está la mejor parte de esta estrategia. Funcionaría reorganizar los términos para converger a cualquier número real, [matemática] L. [/ matemática] Simplemente configure [matemática] L [/ matemática] como su objetivo, y tome los términos de la cola positiva o negativa según sea necesario para obtener cada vez más cerca de [matemáticas] L. [/ matemáticas] Como Bernard Blander señaló en los comentarios, el Teorema de reordenamiento de Riemann [2] garantiza que este es el caso para cualquier serie que converja pero no converja absolutamente.
Notas al pie
[1] Convergencia absoluta – Wikipedia
[2] Teorema de reordenamiento de Riemann
