¿Cuál es el número de unidad de [math] 3527 ^ {654} [/ math] ?
Deje que [matemáticas] p = 3527 ^ {654} [/ matemáticas]
Antes de responder a esta pregunta, analicemos de qué factores dependerá el dígito unitario de [math] p [/ math]:
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Para cualquiera de los dos números de naturaleza [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], el dígito unitario de su producto [matemático] xy [/ matemático] será el producto de su respectivo dígito unitario.
Entonces para [matemáticas] p = 3527 \ cdot 3527 \ cdot 3527 \ cdot… .3527 [/ matemáticas] [matemáticas] 654 [/ matemáticas] [matemáticas] veces [/ matemáticas]
el dígito unitario no será más que el dígito unitario de [matemática] q = 7 \ cdot 7 \ cdot 7 \ cdot…. 7 [/ matemáticas] [matemáticas] 654 [/ matemáticas] [matemáticas] veces [/ matemáticas]
[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] Ahora tenemos que encontrar el dígito unitario para [matemática] q = 7 ^ {654} [/ matemática]
Aquí necesitamos hacer una observación importante de que el dígito unitario en exponente de [math] 7 [/ math] se repita después de un intervalo particular (al aumentar el exponente en 4).
[matemáticas] 7 ^ 1 \ rightarrow 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 ^ 2 \ rightarrow 9 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 ^ 3 \ rightarrow 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 ^ 4 \ rightarrow 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 ^ 5 \ rightarrow 7 [/ matemáticas]
Así que ahora necesitamos encontrar el resto cuando [matemáticas] 654 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 654 \ bmod 4 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ rightarrow q = 7 ^ {654} = 7 ^ {4n + 2} [/ matemáticas] donde [matemáticas] n = 163 [/ matemáticas]
[math] \ por lo tanto [/ math] dígito de unidad de [math] q [/ math] es [math] 9 [/ math]
[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] dígito de unidad de [matemática] 3527 ^ {654} [/ matemática] es [matemática] 9 [/ matemática]
[matemáticas] \ enorme \ color {verde} {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]
