Los números complejos aparecieron por primera vez en Artiss Magnæ , o Gran Arte, de Cardano (1501–1576) , en su discusión sobre ecuaciones cuadráticas y cúbicas.
En otro punto, menciona que el problema de dividir 10 en dos partes para que su producto sea 40 tendría que ser [math] 5 + \ sqrt {-15} [/ math] y [math] 5 – \ sqrt { -15}. [/ Math] Otros pueden haber notado ese tipo de cosas antes.
Cardano no fue más allá en lo que más tarde se denominó números complejos que esa observación, pero unos años más tarde Bombelli (1526-1572) dio varios ejemplos que involucran a estas nuevas bestias. Aquí hay un ejemplo.
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Una de las fórmulas cúbicas de Cardano da la solución a la ecuación.
[matemáticas] x ^ 3 = cx + d [/ matemáticas]
como 
donde [matemáticas] e = (d / 2) ^ 2 – (c / 3) ^ 3). [/ matemáticas] Bombelli utilizó esto para resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 3 = 15x + 4 [/ matemáticas] para obtener la solución
Ahora, la raíz cuadrada de –121 no es un número real; No es positivo, negativo ni cero. Bombelli continuó trabajando con esta expresión hasta que encontró ecuaciones que lo llevaron a la solución 4. Determinó que
y, por lo tanto, la solución x = 4.
Los números complejos se hicieron más aceptados en los próximos siglos, ya que son necesarios en lo que ahora llamamos el Teorema fundamental del álgebra. Dice que si tiene una ecuación polinómica de enésimo grado, entonces hay exactamente n soluciones si cuenta multiplicidades e incluye números complejos.
