Alguien ha encontrado recientemente una nueva prueba del último teorema de Fermat para n = 3, ¿cómo puede esto aumentar sus posibilidades de admisión de pregrado en Oxbridge?

Hay muchas, muchas pruebas esencialmente diferentes del caso n = 3 del último teorema de Fermat: que no hay soluciones racionales no triviales para [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3 [/ matemáticas] – conocidas. A menos que haya algún truco fundamentalmente nuevo allí, sospecharía que este resultado es equivalente a una de las pruebas conocidas.

Dos pruebas diferentes se deben a Euler [1]. Ambos comienzan configurando

[matemáticas] x = u + v, y = u – v [/ matemáticas],

de donde se deduce que

[matemáticas] z ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 = (u + v) ^ 3 + (uv) ^ 3 = 2u (u ^ 2 + 3v ^ 2) [/ matemáticas]

Es un cubo perfecto. Esto lleva a (al menos) dos pruebas de descenso infinito diferentes. Uno se basa en examinar los factores de [matemática] 2u [/ matemática] y [matemática] u ^ 2 + v ^ 3 [/ matemática] caso por caso, y el otro se basa en la factorización.

[matemáticas] u ^ 2 + 3v ^ 2 = (u + \ sqrt {3} vi) (u – \ sqrt {3} vi) [/ matemáticas]

La última prueba tiene una brecha: la factorización en anillos arbitrarios resulta ser más sutil de lo que los matemáticos habían esperado al principio, pero esto fue parcheado en el siglo XIX.

Lamé intentó dar una prueba general del último teorema de Fermat basado en la factorización

[matemáticas] x ^ n + y ^ n = (x + y) (x + \ zeta_n y) (x + \ zeta ^ 2_n y) \ cdots (x + \ zeta ^ {n-1} _n y) [/ matemáticas]

donde [math] \ zeta_n [/ math] es una raíz n -ésima primitiva de la unidad. Al igual que el argumento de Euler que usa la factorización compleja, esto también contiene una brecha, pero en este caso la brecha no se puede salvar. Sin embargo, la prueba aún funciona para n = 3 .

Germain demostró, por métodos completamente elementales (y, por lo tanto, sin los tipos de brechas que aparecen en las pruebas anteriores) que, cuando n es un primo impar tal que 2n + 1 es primo, entonces n debe dividir uno de x , y , o z . Esto se basa en examinar la factorización.

[matemáticas] y ^ n – z ^ n = (yz) (y ^ {n-1} + y ^ {n-2} z + \ cdots + z ^ {n-1}) [/ matemáticas]

módulo algunos primos. No veo cómo hacerlo desde la parte superior de mi cabeza, pero IIRC también se puede usar para resolver el problema.

Por supuesto, si nos permitimos usar maquinaria moderna, entonces tenemos muchos otros ataques al problema. Después de todo, la curva proyectiva [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3 [/ matemática] es una curva elíptica, y ahora se entiende bastante bien.

[1] En realidad, aparentemente existe cierta controversia sobre si Euler alguna vez escribió la prueba más elemental. Lo investigaría más, pero el único recurso accesible está en un idioma que no hablo muy bien.

¿Por qué trabajaste en este problema? ¿Por qué te importó? ¿Qué tuviste que aprender para resolverlo? ¿Qué te enseñó la solución? Puede escribir un ensayo maravilloso respondiendo estas preguntas, mostrando su pasión al comité de admisión.

Escribí algo sobre hipercubos n-dimensionales en mi ensayo de admisión hace 25 años. Algún “descubrimiento” que hice. Ni siquiera recuerdo los detalles, pero “funcionó” muy bien.

Nota: esto se aplica a la admisión a la universidad estadounidense. No tengo idea de otros países.

Es obvio que a ninguna persona en la admisión le importará leer la prueba o verificar con la facultad si la prueba es nueva o no.

Pero leerán una sorprendente carta de recomendación del profesor de matemáticas del estudiante o del director de la escuela declarando que el niño es uno de los estudiantes más sobresalientes que la escuela haya tenido.

Mejor no decir nada al respecto. Cualquier mención de FLT u otras grandes conjeturas es probable que grite a Crank, no es algo que quiera ser visto.

Para Cambridge necesitas escribir STEP. Conozco a un medallista de oro de la OMI que debía escribir el examen. Probablemente se le preguntará al respecto en las entrevistas si lo menciona en su artículo anterior. ¡Buena suerte!