Considere que [matemáticas] (x + d) ^ 2 = (x + d) (x + d) = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2. [/ Matemáticas]. Tenga en cuenta que esto es genérico; cualquier polinomio cuadrático monico (a = 1) que pueda factorizarse en el cuadrado de un binomio se verá así.
Compare esto con un polinomio monic [matemático] x ^ 2 + bx + c [/ matemático]. Si queremos que este sea un cuadrado perfecto, entonces si [matemática] d = \ frac {b} {2} [/ matemática] y [matemática] c = \ frac {b ^ 2} {4} [/ matemática], entonces [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = (x + d) ^ 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, cuando completamos el cuadrado del polinomio [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math], movemos [math] c [/ math] al RHS ([math] ax ^ 2 + bx = -c [/ math]), dividir entre [math] a [/ math] ([math] x ^ 2 + \ frac {b} {a} = \ frac {-c} {a} [/ math]) y agregue [math] (\ frac {b} {2a}) ^ 2 [/ math] a ambos lados. Esto es solo para que parezca [matemática] x ^ 2 + 2dx + d ^ 2 [/ matemática].
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