La probabilidad de un ángulo recto es cero. Una vez que haya elegido dos puntos, solo quedan dos lugares donde puede ir el tercer punto para formar un triángulo rectángulo. Mientras tanto, hay un continuo de posibilidades. El conjunto que forma un triángulo rectángulo tiene la medida cero.
En cuanto a agudo vs obtuso, depende un poco de lo que uno quiere decir al elegir al azar. Suponga que los tres puntos se eligen de una distribución uniforme de cero a dos pi, que corresponde al ángulo del punto en el borde del círculo. Trace los dos primeros puntos y considere el tercero. Si está dentro de la ventana discontinua de ancho [math] \ theta [/ math], tenemos un triángulo agudo.
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De lo contrario, tenemos un triángulo obtuso.
La integración da
[matemáticas] P (agudo) = \ int_0 ^ {\ pi} \! \ frac {1} {\ pi} \ mathrm {d} \ theta \, \ frac {\ theta} {2 \ pi} = \ frac {1} {4} [/ math]
entonces las probabilidades son 1/4, 3/4, 0 en el orden agudo / obtuso / derecho.
Aquí hay otra forma de pensarlo:
Hay un famoso teorema en geometría elemental que si toma un diámetro de un círculo y otro punto en el borde del círculo, obtendrá un triángulo rectángulo. Lo contrario también es válido: si tiene un triángulo rectángulo, debe tener un diámetro allí. Cuando dibujas tres puntos al azar, es extremadamente improbable que obtengas un diámetro absolutamente perfecto. Este evento técnicamente tiene probabilidad cero.
