Los conjuntos A y B tienen 3 y 6 elementos cada uno. ¿Cuál es el número mínimo de elementos en (AUB)?

Piénselo en términos de diagramas de Venn. A es el círculo izquierdo y B es el círculo derecho. Hay 3 elementos en A y 6 elementos en B.

La unión de A y B contiene elementos que están en cualquier círculo. Por lo tanto, la unión de A y B serán todos los elementos en A junto con todos los elementos de B. Sin embargo, ¡debes restar los elementos que están en el área superpuesta porque los estás contando dos veces! Si A y B no se superponen, la unión contendrá 9 elementos. Sin embargo, el peor de los casos es si A está completamente dentro de B: entonces, la unión solo contendrá 6 elementos, que es el número mínimo de elementos en la unión de A y B.

En este ejemplo, [matemáticas] A = {1,2}, B = {2,3}. [/ Matemáticas] ¿Cuántos elementos hay en la unión (la parte sombreada)? [matemáticas] A \ bigcup B = {1,2,3}, [/ matemáticas] que son 3 elementos. También podría haber obtenido 3 elementos con esta lógica: A tiene 2 elementos, B tiene 2 elementos y hay 1 elemento superpuesto, por lo que 2 + 2 – 1 = 3.

n (AUB) = n (A) + n (B) – n (A ^ B), donde ‘^’ significa intersección.

En la pregunta dada,

dejar n (A) = 3

& n (B) = 6

Ahora, n (AUB) es mínimo cuando n (A ^ B) es máximo. Esto es posible solo si A es un subconjunto de B.

por lo tanto n (A ^ B) = n (A) = 3

valor mínimo de n (AUB) = 3 + 6- 3 = 6

Como [math] B \ subseteq A \ cup B [/ math], [math] A \ cup B [/ math] debe tener al menos 6 elementos. Tiene exactamente 6 elementos cuando [matemática] B = A \ copa B [/ matemática], es decir, cuando [matemática] A \ subconjunto B [/ matemática].

6 elementos, cuando uno es un subconjunto del otro.

Deje que el conjunto A comprenda los elementos {a, b, c, d, e, f}. Deje que el conjunto B comprenda los elementos {g, h, i}. La unión de dos conjuntos se define como un conjunto de elementos en A, en B o en A y B. Por definición, la unión de A y B debe contener a, b, c, d, e y f. Entonces la unión de A y B debe tener al menos 6 elementos. Esto pone un límite inferior en el mínimo de 6.

Para el límite superior, sea g = a, h = b, i = c. La unión de A y B tendría entonces 6 elementos. Entonces el mínimo no puede ser mayor que 6; de lo contrario, esta selección de conjuntos A y B sería la mínima. Entonces el tamaño mínimo de la unión es menor o igual a 6.

Combinando los límites superior e inferior, concluimos que el tamaño mínimo de la unión de A y B debe ser 6.

El número mínimo de elementos en AUB es 6. Como el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 6 elementos, entonces el número máximo de elementos que pueden ser comunes a ambos conjuntos es 3. En ese escenario, el conjunto B retiene 3 elementos adicionales que son no existe en el conjunto A. Por lo tanto, el número mínimo de elementos en AUB es 3 + 3 = 6

6.

Si todos los elementos fueran únicos, tendría 9, pero no es necesario que sean únicos. Si todos los elementos en A también están en B (por lo que básicamente A es un subconjunto de B) AUB = B y el número de elementos en B es 6.

Nota al margen: dado que estamos considerando conjuntos ordinarios, imponemos que no puede haber elementos duplicados en un conjunto. En multisets esto no necesita ser el caso.

Seis. La mayoría serían nueve. La primera ocurre si A es un subconjunto de B. La segunda ocurre si A no tiene elementos en común con B.