Las dos propiedades son Eckmann-Hilton dual. Esto significa que si invierte sistemáticamente todas las flechas en una, obtendrá la otra. Como recordatorio, aquí están las propiedades, con la notación elegida para hacer esto evidente:
Propiedad de elevación de homotopía (HLP)
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El mapa [math] \ pi: E \ to B [/ math] satisface el HLP si: Dada una homotopía [math] f: X \ times I \ to B [/ math] y un mapa [math] \ widetilde {f } _0: X \ to E [/ math] que levanta [math] f | _ {X \ times \ {0 \}}: X \ to B [/ math], hay un ascensor [math] \ widetilde {f } [/ math] de [math] f [/ math] haciendo que el diagrama anterior viaje al trabajo.
Propiedad de extensión de homotopía (HEP)
El mapa [math] i: B \ to E [/ math] satisface el HEP si: Dado un mapa [math] f: B \ to X ^ I [/ math] y un mapa [math] \ widetilde {f} _0 : E \ to X [/ math] tal que [math] \ widetilde {f} _0 \ circ i = p_0 \ circ f [/ math], hay un mapa [math] \ widetilde {f} [/ math] haciendo el diagrama anterior conmuta.
Aquí, [math] p_0: X ^ I \ to X [/ math] es el mapa que restringe [math] g: I \ to X [/ math] a [math] g | _ {\ {0 \}}: \ {0 \} \ a X [/ math].
¿Qué pasa con [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] I [/ matemáticas] ?
Notarás que además de invertir las flechas, también cambiamos [matemática] X \ veces I [/ matemática] a [matemática] X ^ I [/ matemática]. La razón tiene que ver con lo que quise decir cuando escribí “invertir sistemáticamente todas las flechas” en el primer párrafo.
Por “sistemáticamente”, quiero decir que también tiene que desempaquetar y dualizar cualquier concepto teórico de categoría en sus declaraciones. En la práctica, si conoce el dual correcto para un concepto, puede intercambiarlo.
Por ejemplo, uno de los jugadores en la Propiedad de levantamiento de homotopía es [matemática] X \ veces I [/ matemática], donde [matemática] I = [0,1] [/ matemática] es el intervalo de la unidad cerrada. En la propiedad de extensión de homotopía, sin embargo, vemos [matemáticas] X ^ I [/ matemáticas], el espacio de los mapas [matemáticas] I \ a X [/ matemáticas]. Estos son duales de Eckmann-Hilton: [matemáticas] X \ veces I [/ matemáticas] es el coproducto de [matemáticas] X [/ matemáticas] con él mismo parametrizado sobre [matemáticas] I [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] X ^ I [/ math] es el producto de [math] X [/ math] con él mismo parametrizado sobre [math] I [/ math]. Establecido teóricamente, piense en “producto cartesiano” y “unión disjunta”, respectivamente.
¿Ves por qué los productos y coproductos son Eckmann-Hilton dual? Pista: mira sus definiciones a través de propiedades universales.
En general, en la teoría de categorías, si hay una “cosa” y una “vestimenta”, casi siempre son conceptos duales de Eckmann-Hilton.
