¿NJ Wildberger es una broma o un genio cuando afirma que las matemáticas, en su forma actual, son un engaño?

1. Si es un chiflado o no es irrelevante.
2. Su estilo pedagógico es fantástico (opinión).
3. El enfoque de Wildberger saca fuerza del principio de simplicidad, es decir, camina sobre la navaja de afeitar de Ockham.
4. Las matemáticas de Wildberger tienen la ventaja (y la limitación, buena o mala) de ser siempre computacionalmente exactas.

Creo que las afirmaciones de Wildberger deberían calificarse en función de su mérito y no de si es un chiflado o no. Lo que no refleja la opinión del motor de búsqueda colectiva de él donde se debate su estado como “chiflado”. Debemos suponer que Wildberger está cómodamente cuerdo (en mi opinión, parece más cuerdo que la mayoría de los matemáticos). Podemos argumentar si es realmente “fundamental” para las matemáticas o si la vena de pensamiento en la que puede ser atrapado se ha acostado o no. Si usted estudia sus ideas y encuentra un defecto genuino con ellas, entonces podemos decir que no tienen sentido. Pero en lo que a nadie debería interesarle es que si funciona como teoría, entonces funciona.

Como estudiante de matemática relativamente no iniciado, encuentro mínimamente que el enfoque de Wildberger es mucho más comprensible y razonable que los enfoques tradicionales, es decir, sus métodos me atraen personalmente. Siento que después de tomar un curso de álgebra lineal, sabía muy poco sobre álgebra lineal; cuáles eran los objetos, cuáles eran sus objetivos, de dónde provienen, etc. Después de estudiar WildLinAlg de Wildberger, siento que realmente tengo un gran conocimiento práctico del tema, aunque tal vez algo que no sea inmediatamente reconocible por aquellos que lo “aprendieron” tipo de enfoque no obtuve nada. Wildberger se destaca pedagógicamente en motivar y definir inequívocamente la información mínima requerida para una noción matemática. El último de los cuales es donde personalmente creo la fuerza “fundamental” de los argumentos de Wildberger.

Las principales críticas de los resultados de búsqueda de Wildberger (y tal vez el propio Wildberger) no dicen mucho en cuanto a lo que creo es de dónde proviene su fuerza. Sí, Wildberger sigue diatribas regularmente sobre cómo el conjunto infinito es una broma e invoca muchas opiniones históricas al respecto. Estas diatribas son todas las críticas que los críticos han examinado, lo que hace que se oponga a la de un charlatán de paja que Wildberger ocasionalmente usa el disfraz. Lo que no se llama la atención es la crítica de Wildberger al conjunto infinito como esencialmente más equipaje que lo necesario para lo importante (y, por lo tanto, mediante la lógica “constructivista”, real).
Su tesis principal es:

• ¿Por qué invocar marcadores de posición infinitos cuando no es necesario?

Lo que apela a la sensación de que la explicación más simple para algo es probablemente la mejor. O bien, caminar con la navaja de afeitar de Ockham es una forma importante de abordar las matemáticas. Esta es la principal diferencia entre Wildberger y su oposición. Puede lidiar con el problema codificando solo lo que es necesario y rechazando lo que no puede codificarse o puede rodear conceptualmente el infinito y, en la práctica, aproximarlo. El primer enfoque sigue esencialmente el método científico y puede calcularse concretamente. Este último no creo que esté calificado para comentar.

No profundizaré en sus muchos ejemplos, ya que debes dejar que enseñe sus ideas, especialmente cuando ha trabajado tanto para hacerlas accesibles. Wildberger reconstruye muchos ejemplos matemáticos reconocibles dentro de su propio sistema limitado que muestra la utilidad del mismo. Además, creo que las limitaciones de Wildberger en realidad representan el mundo real mucho mejor que los enfoques infinitos a los que se opone y son buenas autoevaluaciones para cuando podemos haber sobrepasado nuestras suposiciones. Muchas de las suposiciones incuestionadas que he llevado con respecto a las matemáticas, y la notación particular, han sido expuestas debido a Wildberger. En última instancia, creo que Wildberger está en algo.

ACTUALIZACIÓN 2017–01–04:

Desde mi respuesta inicial, Wildberger ha publicado muchos videos nuevos (de los cuales no los he estudiado todos). Sin embargo, una característica distintiva más importante de su enfoque de las matemáticas se ha ampliado y es la definición de número.

• Un número natural es un conjunto múltiple de ‘marcas’

Según Wildberger, esto es diferente de la definición teórica del conjunto (de Von Neumann) de un número natural como conjuntos anidados, donde el nivel de anidación corresponde a la cardinalidad del número. Esto es, en un sentido, una desviación del punto 2 anterior, es decir, la navaja de afeitar de Ockham, porque ahora tenemos dos objetos con los que lidiar, las marcas y el contenedor de conjuntos múltiples, mientras que en el enfoque teórico de conjuntos simplemente se establece completamente. En este nivel, parece que el enfoque teórico establecido es más simple, aunque tal vez cueste un aumento de la complejidad axiomática. Wildberger ha declarado en un momento que está en contra de los axiomas reunidos simplemente por su utilidad. De hecho, en realidad lo considera una perversión del uso original del axioma, en comparación, por ejemplo, con las matemáticas griegas, donde un axioma se usaba solo cuando parecía no haber otro concepto más simple. En mi imaginación, esto es algo así como el agujero más pequeño posible que las mentes humanas pueden concebir para que pase la información, y las cosas que pasan por ese agujero son las ‘marcas’. Supongo que nuestra capacidad para crear el axioma más simple posible es el cuello de botella de las capacidades sensoriales del cuerpo humano y la concepción de la “marca” es una función de la capacidad cognitiva abstracta de la mente. La importancia de los sistemas sensoriales en la cognición y la conciencia en general ha sido un aspecto importante de la investigación neuropsicológica y de IA. Una intuición adicional es que este marco puede evitar los problemas lógicos planteados por Godel et al. porque esencialmente admitimos que el ámbito en el que trabajan las mentes humanas es un sistema de información abierto, y todas las teorías derivadas por esas mentes también estarán “abiertas” en algún sentido. No me he decidido si algo de esto es correcto, pero es una propuesta interesante para contemplar. Recuerde, la última vez que estos detalles se debatieron de manera significativa, la evidencia científica con respecto a la biología / neurociencia fue mínima y las computadoras no estaban disponibles, lo que limita nuestra capacidad para evaluar nuestras habilidades como teóricos, así como posiblemente motivar construcciones matemáticas más convenientes, es decir, conjuntos infinitos, axioma de elección.

Es mi convicción que el debate sobre qué es y qué no es, y probablemente será, siempre continuará, y por lo tanto es nuestra responsabilidad reevaluar y actualizar nuestras teorías a medida que se proporcione evidencia. Por lo tanto, es científicamente contraproducente marcar ideas radicales como “crackpot” (por ejemplo, Newton y Darwin). Si los matemáticos aún pueden producir teoremas útiles (instrumentales, tecnológicos) basados ​​en axiomas dudosos (es decir, todos para siempre), anímate, eso no significa que tengas que escupir veneno en axiomas que están potencialmente más cerca de la verdad que los tuyos.

NJ Wildberger no es una broma ni un genio. Me parece que está volviendo a descubrir algunas ideas de las matemáticas constructivas y las relaciona con la enseñanza de las matemáticas. No solo existe un vínculo con el intuicionismo de Brouwer, sino que las preocupaciones de Wildberger sobre conjuntos infinitos también parecen estar relacionadas con el finitismo de Leopold Kronecker.

En otras palabras: las preocupaciones son legítimas, pero ya se han abordado hace mucho tiempo (y, en mi opinión, de manera mucho más convincente), hace unos 100 años, cuando las matemáticas atravesaban la llamada crisis fundamental. Vea la exposición de Evan Warner de Stanford para más información sobre esto.

Lo nuevo en el trabajo de Wildberger es, por lo que puedo decir, su preocupación sobre cómo un enfoque constructivo de las matemáticas debería influir en la forma en que enseñamos el tema.

Tl; dr Por lo que puedo ver, sus marcos son bastante rigurosos, pero sus objeciones al cálculo estándar son discutibles y sus propias definiciones son demasiado restringidas, evitando números reales y conjuntos infinitos. En esencia, construye una nueva matemática sobre la intuición en lugar de la teoría de conjuntos, lo que genera cierto rigor superficial, pero elimina el poder de las matemáticas. Básicamente reinventa la teoría de conjuntos de una manera más intuitiva pero menos general.

---

Comienza dando una definición de números y aritmética, que creo que puede ser algo bueno; Las escuelas a menudo comienzan dando por sentadas algunas ideas, y algunos estudiantes tienen problemas para aceptar esa base. Su definición no es particularmente rigurosa, pero es muy intuitiva, combinando la intuición estándar del “mundo real” de tres manzanas y siete manzanas para hacer diez manzanas con algunas ideas básicas de un marco más riguroso, sin invocar ese complejo monstruo.

Sin embargo, sus videos se desvían cada vez más de las matemáticas reales. El patrón es tomar una idea matemática canónica, decirnos qué piensa que está mal en ella y definir un análogo más restringido que encuentre más natural, usando solo números racionales. En realidad es encomiable lo ordenado que es su marco para los números racionales.

Como ejemplo, el video 106 trata sobre los límites. Después de dar la definición estándar de épsilon-delta, aunque se queja de que es demasiado difícil de entender que muchos programas de educación superior incluso lo evitan (esos deben ser algunos programas de matemáticas realmente malos), explica por qué es incorrecto:

• El término ‘secuencia’ no está bien definido, por lo que no podemos definir límites
  Esto es falso, una secuencia es una función [math] \ mathbb {N} \ rightarrow X [/ math], para algunos conjuntos X. Afirma en otros videos que la definición de la función es que es una ‘regla o procedimiento’ de un conjunto a otro, el problema es que una ‘regla o procedimiento’ no está bien definida. La definición real de funciones se basa, por supuesto, en la teoría de conjuntos. Pero evita decir lo que está mal con la teoría de conjuntos religiosamente, en cambio dice lo que está mal con la intuición que las personas tienen de las definiciones que se derivan de ella.
• La definición utiliza números reales épsilon, A y valores de secuencia.
  Según él, las secuencias y los límites a menudo se definen en un contexto real, y los números reales se definen como límites de secuencias de números racionales, formando un círculo. Pero es perfectamente correcto definir secuencias racionales y límites primero (incluso para épsilon, ya que las definiciones con épsilon racional o real son equivalentes), y definir números reales a partir de ahí. Aquí nuevamente, él elimina una definición de teoría establecida sobre la base de que la intuición detrás de esto no es clara.
• ¿Cómo verificar la definición?
  Si fuera difícil de verificar, esto todavía no sería un defecto en la definición. Pero ni siquiera es tan difícil de verificar; dar una relación entre épsilon y N es una buena prueba. No necesitamos dar algún tipo de “tabla infinita”, no tengo idea de por qué pensaría eso. Invoca la idea del infinito en lugares extraños donde no es relevante, y se aleja de ella cuando es relevante.
• ¿Necesitamos probar esta asociación o simplemente declararla?
  Probar, obviamente. ?? Y la prueba ni siquiera está relacionada con la definición.
• ¿Necesitamos valores absolutos? Especialmente problemático en dimensiones superiores.
  Falso. Los límites se extienden a ‘dimensiones más altas’ fácilmente usando la norma vectorial. También son naturales en espacios métricos más generales, e incluso en espacios topológicos (Hausdorff). Esto es parte de la belleza de la definición del épsilon-delta, no un defecto.

Él mismo define los límites de las “secuencias de polinumeros” (que son su versión de polinomios y secuencias racionales), de modo que el límite de p (n) es A si existen m (“inicio”) yk (“escala”) para que [math] -k / n \ le p (n) -A \ le k / n [/ math]. La ventaja es que solo necesita encontrar myk, no una relación real. No funciona para secuencias que convergen más lentamente que [math] 1 / n [/ math], pero no existen tales “complementos de secuencia de polinumber”, por lo que funciona muy bien. Por supuesto, aún necesita llenar una “tabla infinita” para dar una prueba formal de todo n, por lo que ni siquiera elimina el supuesto problema original.

Wildberger, como Doron Zeilberger, es un ultrafinitista. Como se explica aquí:

http://www.math.rutgers.edu/~zei …

Esta es una idea mucho más radical que el mero finitismo o las matemáticas constructivas. Incluso se niega la existencia de números extremadamente grandes, vea, por ejemplo, este video:

Uno puede ridiculizar esto, pero el argumento a favor del ultrafinitismo basado en la finitud del universo observable tiene sentido. Un matemático que prueba un teorema que involucra números reales sigue siendo una máquina de estados finitos en sí mismo (todo el universo visible puede estar en solo un número finito de estados físicamente distinguibles, este número es astronómicamente grande pero finito). Por lo tanto, todos los teoremas del análisis real que invocan la incontabilidad de los reales, el continuo, etc. de una manera esencial, pueden ser reinterpretados en términos de cantidades estrictamente finitas.

La cuestión de cómo dar a todas las matemáticas un marco ultrafinitis riguroso no se ha resuelto, principalmente porque la mayoría de los matemáticos no están interesados ​​en esta pregunta. Pero sin ese marco, las matemáticas, especialmente el análisis, no son rigurosas. Supongo que hacer que el cálculo sea riguroso podría involucrar un formalismo en el que trabajas dentro del análisis deformado por q que funciona más suavemente que usar diferencias finitas como en el formalismo de Zeilberger, el cálculo ordinario corresponde al límite de q a 1.

Él es un genio, sin duda. Incluso los mejores matemáticos no entienden sus argumentos claros y metódicos. El punto es que las matemáticas modernas se centran casi por completo en enfoques distintos del constructivismo. Sin ninguna razón en particular, las matemáticas modernas han rechazado la posición filosófica completamente válida del constructivismo, simplemente porque no incluye la idea de “infinito”. Increíblemente, incluso en el 2015, muchos (incluso diría que la mayoría) los matemáticos literalmente se enojarán si comienzas a tomar un punto de vista constructivista. A los estudiantes modernos se les enseña específicamente que esta idea de “infinito” es “real”. Nunca se les enseña la verdad, que es que “infinito” es una creencia filosófica. Francamente, estoy muy inclinado a pensar que las matemáticas modernas tienen profundas fallas en sus ideas sobre el “infinito”. Descartar el constructivismo de tener un concepto imaginario aleatorio llamado “infinito” fue un paso importante en la dirección equivocada para las matemáticas modernas. Por lo menos creo que deberíamos traer de vuelta el constructivismo y al menos tratarlo con la misma dignidad que tratamos al resto de las matemáticas. No hay lugar para el sesgo filosófico en las matemáticas.

Además, creo que es posible demostrar rigurosamente que los enfoques no constructivos son lógicamente defectuosos, sin embargo, básicamente tienes que ser un genio para entender la prueba. La mayoría de los cerebros humanos no han evolucionado hasta el punto de ser conscientes de que las cosas no tienen sentido a menos que estén definidas. Nosotros como especie estamos “despertando” a la realidad y la idea de que realidad y computación son sinónimos. Pasarán otros cientos de años antes de que la gente entienda lo que dice el Dr. Wildberger.

El Prof. Wildberger es una voz importante en Matemáticas.

Creo que todos los estudiantes de licenciatura en Matemáticas deben estar expuestos a los “problemas con los Fundamentos de las Matemáticas” de Wildberger, ya sea que Wildberger tenga razón o no. Creo que todos los estudiantes de licenciatura en Matemáticas pueden beneficiarse al pasar tiempo con las conferencias / videos / libros de Wildberger o una colección adecuada organizada en un curso.

Es un punto de vista importante, un contrapunto a los cursos de análisis tradicionales.

Como la gran mayoría de los matemáticos no está de acuerdo con Wildberger, diferiré su experiencia en el tema que no estoy calificado para evaluar.

Sin embargo, sé que soy un mejor pensador crítico, tengo una mejor comprensión de las Matemáticas (con o sin sus fundamentos problemáticos), y mi propia comprensión de la Computación ha sido mejor informada gracias al Profesor Wildberger.

No soy un matemático, ni siquiera un estudiante de matemáticas (en realidad todavía estoy en la escuela secundaria, pero estudio matemáticas de nivel universitario en mi tiempo libre …), por lo que es posible que no tenga el conocimiento suficiente para discutir realmente contra los profesores. Además, no he visto muchos videos de Wildberger, pero lo suficiente como para tener la idea.

En los videos que he visto, ha hablado sobre los problemas con las matemáticas modernas pero no ha mostrado, en mi opinión, buenos ejemplos. Pero todo parece originarse en el mismo problema: los números reales (supuestamente) no existen. Siento que la única razón que él da para esto es que los números reales nunca existirán en el universo en que vivimos.

Bueno, eso es cierto y estoy de acuerdo con él, pero incluso si los reales no existen en el mundo físico, no significa que no existan como un concepto abstracto que podamos usar para desarrollar aún más nuestra comprensión de las matemáticas. Creo que es solo una cuestión de opinión permitir o negar la existencia de números reales y complejos.

Ciertamente puedes hacer matemáticas en ambos casos, pero en el caso de negar los reales restringe uno.

Dicho esto, me gusta el profesor Wildeberger y voy a ver su curso sobre trigonometría de raciones, ya que suena interesante.

Definitivamente tiene ideas interesantes y no estándar, pero creo que exagera el error de las matemáticas modernas. Claro, Set Theory tiene algo de artificio, pero también su sistema. Quizás su sistema tiene menos artificio, pero está ahí, como en cualquier sistema matemático. Y en la otra dirección, los fundamentos matemáticos modernos no son puro artificio: se desarrolló de la manera en que lo fue por una razón, incluso si posiblemente tiene una mejor construcción.

Es algo falso o no existe porque no es computacionalmente verdadero o computacionalmente imposible

Tampoco, él es simplemente obstinado.

Cualquier persona con quejas “fundamentales” sentirá que tiene una espina en el zapato. Para otros, “engaño” es una palabra demasiado fuerte.