Puede hacerlo variando la construcción de la curva de copo de nieve de Koch.
Fuente de la imagen: Koch Tiles – mosaico aperiódico
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Recuerde que la construcción de la curva de Koch comienza con una línea, luego reemplaza el tercio medio por los otros dos lados de un triángulo equilátero, luego reemplaza el tercio medio de cada uno de los cuatro segmentos por los otros dos lados de los triángulos equiláteros, etc. El límite es la curva de Koch.
La dimensión de Hausdorff es [matemática] \ frac {\ log 4} {\ log 3} \ aprox 1.2645 [/ matemática]. Eso se reduce al paso donde cada segmento se reemplaza por segmentos que son [matemáticos] 4/3 [/ matemáticos] más largos.
Si hace que el triángulo sea isósceles en lugar de equilátero con una altitud mayor o menor que un triángulo equilátero, entonces la dimensión de Hausdorff será mayor o menor que 1.2645. (No querrías que fuera mucho más grande o la curva se cruzaría sola).
Deje que la altitud del triángulo isósceles sea [matemática] a [/ matemática] multiplicada por su base. Entonces, cada uno de los otros dos lados del triángulo tendrá una longitud [matemática] \ sqrt {a ^ 2 + \ frac12} [/ matemática] veces la base, y juntos su longitud será [matemática] \ sqrt {4a ^ 2 + 2} [/ math] veces la base. Eso significa que para cada etapa del proceso de construcción de la cu2rve, cada segmento será reemplazado por cuatro segmentos cuya longitud total es [matemática] \ frac13 (2+ \ sqrt {4a ^ 2 + 2}) [/ matemática] veces más larga . La dimensión de Hausdorff será [math] \ dfrac {\ log (2+ \ sqrt {4a ^ 2 + 2})} {\ log3} [/ math].
Esto parametriza la familia de curvas en términos del parámetro [math] a [/ math]. Si desea parametrizarlo en términos de la dimensión de Hausdorff, resuelva [math] x = \ dfrac {\ log (2+ \ sqrt {4a ^ 2 + 2})} {\ log3} [/ math] para [math] a [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] a = \ frac12 \ sqrt {(3 ^ x-2) ^ 2–2} [/ matemáticas]. En otras palabras, dado [matemática] x [/ matemática] reemplace el tercio medio de cada segmento por un triángulo isósceles cuya altura es [matemática] \ frac12 \ sqrt {(3 ^ x-2) ^ 2–2} [/ matemática ] veces su base.
