Primero, obtengamos la respuesta pensando. Cada número tiene tres raíces cúbicas. Cuando el número está en el círculo unitario como [math] -i [/ math], también lo son las tres raíces cúbicas. La respuesta se da expresando el ángulo de tres maneras diferentes y dividiéndolos por tres. [math] -i [/ math] está en [math] -90 ^ \ circ, [/ math] que también es [math] -90 -360 = -450 ^ \ circ [/ math] y [math] -90 + 360 = 270 ^ \ circ. [/ Math] Un tercio de estos son [math] -30 ^ \ circ, [/ math] [math] -150 ^ \ circ [/ math] y [math] 90 ^ \ circ , [/ math] respectivamente. Esos corresponden a [matemáticas] \ frac 1 2 (\ sqrt {3} – i), [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac 1 2 (- \ sqrt {3} -i) [/ matemáticas] y [matemáticas] i .[/matemáticas]
Podemos hacer esto más formalmente usando coordenadas polares. En coordenadas polares tenemos [math] -i = e ^ {- i \ pi / 2} [/ math] y siempre tenemos [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para entero [math ] k. [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ 3 = -i = e ^ {- i \ pi / 2} e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]
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[matemáticas] z = (e ^ {i (- \ pi / 2 + 2 \ pi k)}) ^ {\ frac 1 3} = e ^ {i (- \ pi / 6 + 2 \ pi k / 3) }[/matemáticas]
[matemáticas] z = \ cos (- \ pi / 6 + 2 \ pi k / 3) + i \ sin (- \ pi / 6 + 2 \ pi k / 3) [/ matemáticas]
Eso es tres [math] z [/ math] s, por tres tres [math] k [/ math] s consecutivas, digamos [math] k = -1,0,1 [/ math]
[matemáticas] z = \ cos (- \ pi / 6 – 2 \ pi / 3) + i \ sin (-5 \ pi / 6) = \ cos (5 \ pi / 6) – i \ sin (5 \ pi / 6) = – \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} – \ dfrac {1} {2} i [/ matemáticas]
[matemáticas] z = \ cos (\ pi / 6) -i \ sin (\ pi / 6) = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} – \ dfrac {1} {2} i [/ matemáticas]
[matemáticas] z = \ cos (- \ pi / 6 + 2 \ pi / 3) + i \ sin (3 \ pi / 6) = \ cos (\ pi / 2) + i \ sin (\ pi / 2) = i [/ matemáticas]
Quizás la fórmula de Euler no sea lo tuyo. Resolvamos [matemática] z ^ 3 = -i, [/ matemática] o [matemática] z ^ 3 + i = 0. [/ matemática] La mejor manera de resolver un cubo es adivinando una raíz. Sabemos que [matemáticas] z = i [/ matemáticas] es una raíz obvia, [matemáticas] i ^ 3 = i ^ 2 i = -i. [/ Matemáticas]
Esto significa que [math] zi [/ math] es un factor de [math] z ^ 3 + i. [/ Math] Consigamos el otro factor por división larga.
El primer término es [matemáticas] z ^ 2 [/ matemáticas]. [matemáticas] z ^ 3 + i – z ^ 2 (zi) = iz ^ 2 + i. [/ matemáticas] El siguiente término en el factor debe ser [matemáticas] iz. [/ matemáticas] Tenemos [matemáticas] iz ^ 2 + i – iz (zi) = -z + i. [/ Math] Entonces el último término es [math] -1 [/ math], y obtenemos
[matemáticas] z ^ 3 + i = (zi) (z ^ 2 + iz – 1) = 0 [/ matemáticas]
Las otras dos raíces son
[matemáticas] z = \ dfrac {-i \ pm \ sqrt {i ^ 2 + 4}} {2} = \ dfrac {-i \ pm \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]
que coincide con las soluciones que obtuvimos de las otras dos formas.
