1 + 1 = 2 es verdadero hasta los números complejos. Ver:
El primer conjunto que surgió naturalmente en el curso de la historia de la humanidad fue el conjunto de números naturales representados por {N}. Este conjunto está asociado con la idea natural de contar objetos.
{N} = {0; 1, 2, 3, …}
{N *} = {1; 2; 3; ….}
El ‘*’ sobre N significa no nulo que no cuenta el número cero.
… La asamblea continúa infinitamente.
El segundo conjunto que surgió fue el conjunto de enteros representados por {Z}. En este conjunto está presente solo números enteros. Una novedad de este ensamblaje es la presencia de números negativos y reglas de resinas para sumar y multiplicar.
{Z} = {…, – 3; -2; -1; 0; 1, 2, 3, …}
{N} C {Z}
Pronto, cada número natural también es un entero, pero no todos los enteros son naturales.
El tercer conjunto que surgió fue el conjunto de números racionales representados por {Q}. Los números racionales son números que se pueden escribir como a / b. La novedad de este conjunto es la presencia de algunas fracciones y la aparición de números decimales.
Ejemplos de números racionales son 1/2, 0.15 … Un ejemplo de representación de un conjunto de racionales sería:
{Q} = {-3, -2.5; -2; -1; 0; 1/2; 1, 2, 3, …}
El cuarto conjunto que surgió fue el conjunto de números irracionales representados por {I}. Los números irracionales son números que no pueden escribirse como a / b. Ejemplos de números irracionales son √2, el número pi, el número phi que aparece en proporción al cuerpo humano y muchos lugares en la naturaleza. Si el número tiene diferente decimal e infinito, entonces es irracional porque no puede representarse por a / b donde a y b son enteros.
Por ejemplo
√2 = 1.4142135 … irracional
√3 = 1.7320508 … irracional
Pero estos ejemplos:
.333333333333333333 Es racional porque se puede escribir como 1/3
0.1111111111111111111111110000000000 es racional porque se puede escribir como 111111111111111111111111/100000000000000000000000
Hasta ahora tenemos {N} C {Z} C {Q} pero {I} no es parte de las articulaciones pasadas. Una suma de todos los conjuntos {N} {Z} {Q} y {I} hacen los números reales o {R}. Los números reales se pueden representar mediante una línea recta, por lo que {R} tiene dimensión 1.
Pero los primeros en dar soluciones a las ecuaciones cúbicas (ax³ + bx² + cx + d) fueron Scipione del Ferro y Tartaglia y aparece como los números complejos, pero Descartes, en el siglo XVII, los llamó números imaginarios porque no tenían grandes utilidad. Actualmente, los números imaginarios tienen varias aplicaciones en fenómenos como la electricidad, por ejemplo.
Los números complejos están representados por {C}. Un número es complejo si z = a + bi donde a y b pertenecen a real e i es una unidad imaginaria tal que I² = -1. Cuando pasa de los números reales al complejo, se pierde la propiedad del pedido solo porque {C} puede ser representado por un plan y el plan tiene dos dimensiones, entonces {C} tiene 2 dimensiones. Las dimensiones que conocemos son la longitud, altura y ancho habituales o 3D (dimensiones). Por esta razón, era probable que el siguiente conjunto de números {H} tuviera dimensión 3.
Un irlandés llamado Willian Rowan Hamilton, nacido en 1805 en Dublín, pasó varios años de su vida tratando de descubrir el set {H} con tamaño 3, pero sin éxito. Después de 10 años, intentó los mismos problemas con 4 dimensiones y, para su sorpresa, obtuvo una respuesta. Entonces tomó su cuchillo y registró su teoría fundamental de la tabla de multiplicación de cuaterniones en una de las piedras del Puente Brougham en Irlanda. Hay una placa que registra esta historia en la ciudad. Actualmente, muchas personas usan este tipo de número sin saberlo mientras usan Vectores, porque los vectores tienen propiedades similares a {H}
El símbolo {H} es el número establecido de cuaterniones. Este conjunto se define como:
Q = a + bi + cj + ek
Donde a, b, c son números reales y
i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1
y yo, j, k obedecemos las siguientes reglas.
ij = k, ji = -k
jk = i, kj = -i
ki = j, ik = -j
Por lo tanto, {H} tiene 4 dimensiones. Un hecho curioso de {H} es que NO hay más conmutación en el producto porque:
ixj = k y jxi = -k. Esto es una indicación de que cuando duplica el tamaño, pierde una propiedad matemática . Por ejemplo, de {R} a {C} ha duplicado el tamaño de 1 a 2, luego ha perdido la propiedad de la orden r. Por ejemplo, en {R} puede decir que un número es mayor o menor que otro, pero en {C} no hay un número complejo mayor que otro porque se perdió la propiedad del pedido.
De {C} a {H} duplicó el tamaño de 2 a 4, luego se perdió la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Más tarde, vino {O}. Este conjunto son los números de Octonion . Estos números tienen 8 dimensiones y tendrían una construcción similar a {H}. Solo imagina un número
Q = a + bi + cj + dk + el + FM + gn + hp
en donde a, b, c, d, e, f, gyh son reales e i, j, k, l, m, nyp son números tales que I² = j² = K² = L² = m² = N² = p² = -1
Pero este conjunto {O} perdería la propiedad de asociatividad . Perder asociatividad significa que (2 x 3) x 4 sería diferente a 2 x (3 x 4) porque no hay más asociatividad. {o (0 + 1) +1 es diferente de 0+ (1 + 1), ese es el núcleo de su pregunta}
El siguiente conjunto tendría un tamaño 16 y estaría representado por {S}. Pero este conjunto no es válido cuando se produce la división entre números. Por lo tanto, duplica el tamaño de 8 a 16 dimensiones y pierde la división . En realidad, hay muchos conjuntos numéricos además de los números complejos y muchos problemas por descubrir en este asunto.
Fuente (en portugués)