Realmente no puedo explicar la prueba de FLT, principalmente porque no conozco la prueba completa de FLT (y en realidad no creo que haya alguien activo en Quora que lo haga). Para ser honesto, probablemente nunca sabré la prueba completa de FLT. (No es que no pudiera, estoy seguro de que con un par de años de esfuerzo, podría resolver todos los requisitos previos y revisar la prueba). Sin embargo, tengo conocimiento general sobre los ingredientes que entraron en la prueba, y trataré de explicar cuáles son.
Otra nota: no puedo lograr ELI5, ya que ni siquiera estoy seguro de cómo declararía lo que significa FLT para un niño de 5 años. Iré por un ELI15 algo más manejable.
Lo primero que señalaré es que, técnicamente, a pesar de lo que dirán las noticias, Andrew Wiles no probó el último teorema de Fermat. Probó un resultado diferente, a saber, la conjetura de Taniyama-Shimura (o, más exactamente, un caso especial de esta conjetura, pero voy a ignorar ese detalle en mi respuesta). Sin embargo, ya se sabía en ese momento que la conjetura de Taniyama-Shimura implica FLT.
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Ese hecho no fue probado por Wiles, sino por Ken Ribet, en 1986. Dicho esto, Wiles sabía del resultado de Ribet y estaba motivado para tratar de probar la conjetura de Taniyama-Shimura como resultado.
Ahora, para tratar de explicar qué es la conjetura de Taniyama-Shimura y qué tiene que ver con las curvas elípticas, primero tendré que hablar sobre las curvas elípticas.
Puede pensar en una curva elíptica como descrita por una ecuación [matemática] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son números racionales (estoy barriendo algunos detalles técnicos debajo de la alfombra aquí, pero no son demasiado importantes). He incluido algunos ejemplos (si quieres ser técnico, [matemática] a = b = 0 [/ matemática] no debería aparecer aquí, porque tiene una cúspide, pero de nuevo, esos son detalles técnicos):
Las curvas elípticas son interesantes por varias razones. Los matemáticos generalmente están interesados en el problema de definir una curva y luego estudiar los puntos en esa curva que resultan ser racionales. Para curvas arbitrarias, este es un problema notablemente difícil; de hecho, puede escribir curvas para las cuales determinar los puntos racionales es un problema sin solución.
Las curvas elípticas están justo en el punto óptimo: son lo suficientemente complicadas como para que podamos determinar los puntos racionales, pero este es un problema difícil. Esto es interesante: nos gustaría mejorar nuestras herramientas matemáticas para que este problema sea más fácil.
Las curvas elípticas también tienen conexiones sorprendentes con otros campos matemáticos. Probablemente lo más práctico es la conexión con la criptografía, pero hay otras.
Una de estas conexiones muy importantes es la conexión a formas modulares.
¿Qué es una forma modular? Dar una definición intuitiva es bastante difícil. Permítanme decir que es un tipo especial de función que satisface algunas relaciones de simetría muy particulares que es de gran interés para los teóricos de números.
Uno de los beneficios de las formas modulares es que están altamente restringidas, un hecho que a menudo se explota para probar algunos resultados notables.
Así que fue muy sorprendente cuando, en la década de 1950, a la gente se le ocurrió la idea de que todas las curvas elípticas en realidad surgen de formas modulares, esto se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura. Hay una forma explícita de conectar los dos. No voy a discutirlo aquí, pero espero que sea suficiente saber que la conexión está ahí.
Ahora, avancemos a 1982. Gerhard Frey, basándose en el trabajo de Yves Hellegouarch, notó que había una conexión entre Taniyama-Shimura, las curvas elípticas y FLT.
Específicamente, se observó que si [matemáticas] a ^ p + b ^ p = c ^ p [/ matemáticas] es un contraejemplo de FLT, entonces [matemáticas] y ^ 2 = x (x – a ^ p) ( x + b ^ p) [/ math] es una curva elíptica, y una con algunas propiedades anormales muy extrañas.
De hecho, como fue demostrado rigurosamente por Ribet, ninguna curva elíptica que surge de una forma modular podría tener las propiedades que tendría esta curva hipotética.
Entonces, la implicación era clara: si demuestras Taniyama-Shimura, entonces demuestras que todas las curvas elípticas satisfacen buenas propiedades, por lo tanto no puede haber una curva elíptica como [matemáticas] y ^ 2 = x (x – a ^ p) (x + b ^ p) [/ math], y por lo tanto no hay contraejemplos para FLT.
Aquí es donde entró el trabajo de Wiles. Aparentemente, había estado interesado en FLT desde que era un niño, y de repente darse cuenta de que podría tener experiencia para ver que se demostró que lo impulsó a la acción.
Ni siquiera voy a intentar explicar la prueba de Wiles, porque eso está más allá de mis habilidades actuales. Baste decir que le llevó seis años, la prueba original estaba equivocada, se vio obligado a intentarlo nuevamente con la ayuda de uno de sus estudiantes, y su prueba final tenía más de cien páginas. Fue ese tipo de resultado.
