TL; DR: Sí, su intuición final es correcta. No se trata solo de dividir un número mayor; está eliminando las grietas (p. ej., alguna parte del primer término, porque [math] 1 [/ math] se reemplaza por [math] \ cos ^ 1 (1) [/ math], que es menor).
Con más detalle:
Suponga que [math] 0 \ leq a_n \ leq b_n [/ math] para todos [math] n [/ math]. La idea intuitiva clave detrás de la prueba de comparación directa es que [matemática] 0 \ leq [/ matemática] [matemática] \ sum_n a_n \ leq \ sum_n b_n [/ matemática], por lo que en particular si la suma de [matemática] b_n [/ math] es finito, entonces la suma de [math] a_n [/ math] es finita (y por lo tanto debe existir ya que [math] a_n [/ math] son estrictamente positivos, lo cual es intuitivamente obvio pero la prueba técnica es algo difícil).
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Ahora suponga, por ejemplo, que [matemáticas] a_n = \ cos ^ 2 (n) / n ^ {3/2} [/ matemáticas] y [matemáticas] b_n = 1 / n ^ {3/2} [/ matemáticas] . Entonces, [math] a_n \ leq b_n [/ math] porque [math] \ cos ^ 2 (n) \ leq 1 [/ math], entonces podemos aplicar la prueba de comparación directa, y generalmente hacemos lo mismo para la última suma (como observa, simplemente aplicando el máximo en el numerador).
