Pregunta originalmente respondida: ¿El teorema de incompletitud de Godel significa que algunas conjeturas como la de Goldbach nunca se pueden probar?
Supongo que está hablando aquí sobre el primer teorema de incompletitud de Gödel, ya que su segundo puede verse como una aplicación del primero.
Ahora, ¿qué dice este teorema? Establece que para cualquier sistema axiomático que satisfaga las condiciones previas del teorema, deben existir proposiciones que sean verdaderas en cada modelo del sistema, pero que, sin embargo, ese sistema no puede probar, si el sistema es consistente. En otras palabras, cualquier sistema lo suficientemente fuerte es incompleto, lo que significa que no puede probar todas las verdades sobre los modelos del sistema, o el sistema es inconsistente, lo que significa que puede probar todo, incluidas las falsedades.
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Las condiciones previas a menudo se parafrasean como ” lo suficientemente fuertes como para codificar la teoría básica de números “, lo que será lo suficientemente bueno aquí. La prueba continúa construyendo una proposición que es verdadera en todos los modelos de un sistema de este tipo y luego mostrando que si esa proposición es demostrable dentro del sistema, entonces el sistema es inconsistente.
Ahora, si suponemos que las matemáticas como axiomatizadas actualmente (cualquiera de los fundamentos que le gustaría elegir) son consistentes, lo cual es muy probable, entonces debemos concluir que deben existir proposiciones no demostrables. Si mi ejemplo específico de la Conjetura de Goldbach es o no una propuesta de este tipo, es, hasta donde yo sé, no se conoce en este momento.
Entonces, para responder a su pregunta, si las matemáticas son consistentes , entonces hay algunas conjeturas que nunca serán probadas, aunque en realidad sean ciertas.
Me gustaría señalar que los teoremas de incompletitud también implican que existen falsedades no demostrables en dicho sistema, lo que significa que hay proposiciones que son falsas en todos los modelos del sistema, pero que no podemos probar ese hecho dentro del sistema.
Además, recuerde que estamos hablando de un sistema fijo particular aquí. Somos libres de cambiar el sistema de la forma que queramos, lo que puede hacer que cualquier proposición particular sea demostrable dentro del sistema modificado. La forma más sencilla de hacer esto sería incluir la proposición relevante en el conjunto de axiomas, pero hay otras formas.
Tenga en cuenta que si el sistema modificado sigue siendo consistente, entonces los teoremas de incompletitud de Gödel aún se aplicarían a él, lo que significa simplemente que el conjunto de proposiciones no demostrables sería diferente entre los dos sistemas. Esto se conoce como un estado incompleto esencial y básicamente significa que no hay forma de extender el sistema y eliminar proposiciones verdaderas no demostrables. La única forma de hacer esto sería, en esencia, asumir [math] \ displaystyle \ forall PP [/ math], donde [math] P [/ math] es una proposición como axioma, lo que claramente hace que el sistema sea inconsistente , como entonces todas las proposiciones serían demostrables.
