¿De cuántas maneras puedo colorear las seis caras de un cubo con seis colores diferentes?

Esto es un poco complicado, así que presta atención.

Primero encontraremos el número total de formas en que 6 colores diferentes pueden pintar un cubo. ¡Esto resulta ser 6! (es decir, tiene 6 opciones para la primera cara, 5 opciones para la segunda, 4 opciones para la tercera y así sucesivamente). Pero esta no puede ser nuestra respuesta final, ya que esta solución particular nos exigirá que podamos distinguir entre 6 lados idénticos de un cubo cuando se gira. Esto no es posible.

Ahora, lo que tenemos que hacer es arreglar el cubo de manera que se evite la repetición y la preocupación por identificar los lados se vuelva irrelevante. Para esto, considere colocar el Cubo en un espacio 3D.

Considere: cada uno de los 4 lados es Norte, Sur, Oeste, Este respectivamente y los 2 lados restantes son Arriba y Abajo.

Podemos arreglar el lado negativo de 6 maneras. Esto arreglará automáticamente el lado Arriba que es opuesto al Abajo. Entre los 4 lados restantes, la fijación 1 arreglará el resto. Al fijar el lado norte, arreglamos los lados sur y este y oeste, es decir, cuando el norte está fijo, el sur se arregla, lo que da como resultado la única forma en que las cuatro direcciones pueden orientarse. Por lo tanto, el número de formas de fijar el Norte es de 4 formas.

Ahora tenemos un número total de formas de pintar: ¡6! Y Número de posiciones fijas para un cubo: 6 * 4 = 24

Por lo tanto, formas totales de pintar un cubo en una pregunta dada:

6! / (6 * 4) = 30

¡El número total de formas en que se puede colorear el cubo es 6!

Hay caras y la posible repetición de colores será 6 para cada una, pero como un lado está fijo y el lado opuesto también está en un espacio tridimensional, las caras restantes son 4

Entonces, la cantidad de formas en que un cubo se puede colorear con 6 colores diferentes es

6! / 6 × 4

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1/6 × 4

= 30 maneras

Primero, resolvamos la versión simplificada de esta pregunta al no tomar el aspecto del “cubo”.

6 caras

f1, f2, f3, f4, f5, f6

cada uno puede ser coloreado de 6 maneras diferentes, pero una vez que hemos usado un color, no podemos volver a usarlo, lo que hace que sea de 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 (¡6!) formas

¡Entonces, el total de combinaciones posibles es 6!

Ahora consideremos la complicación: 6! las posibilidades son para cuando f1 está en la posición 1 (se muestra en la imagen), f2 está en la posición 2 .. y así sucesivamente. Pero el cubo de una combinación de colores en particular se puede mover de modo que la cara1 se encuentre en la posición 1,2,3,4,5 y 6, pero sigue siendo el mismo cubo.

También debemos tener en cuenta que incluso después de fijar una cara en una posición, el cubo se puede girar de otras 3 maneras (4 contando la forma actual en que está orientado) de modo que las otras caras cambien sus posiciones.

De ahí el en nuestro original 6! permutaciones, hemos contado la misma combinación de colores 6 * 4 veces

Entonces, formas de colorear realmente el cubo = 6! / (6 * 4) = 30 formas.

Considere la cara que tiene color rojo. Quedan cinco caras. La cara que es exactamente opuesta a la cara roja se puede colorear de 5 maneras. ¡Las 4 caras restantes forman una permutación circular, que se puede colorear en (4-1)! formas.
¡Así que formas totales = [matemáticas] 5 * 3! = 30 [/ matemáticas]

Digamos que 6 colores diferentes son c1, c2, c3 .. c6.

Ahora consideremos que la cara del cubo hacia arriba está pintada con c1. Luego, la cara del cubo en la parte inferior se puede pintar de 5 maneras diferentes.

¡Y las 4 caras en el lado horizontal están en permutación circular para que puedan pintarse (4–1)! formas

Entonces, el número total de formas en que se puede pintar el cubo

= 5 * (4–1)! = 5 * 3! = 5 * 3 * 2 = 30 formas

Pinta una de las caras de rojo y conviértela en la cara superior.

5 opciones para la cara inferior.

¡Ahora, se pueden pintar cuatro caras laterales en (4-1)! = 3! = 6 formas (arreglos circulares de 4 colores).

Total = 5 * 6 = 30.