Pido disculpas si esto suena como una respuesta estúpida, pero no debe subestimarse su importancia:
Si [matemática] X [/ matemática] es un espacio irreducible y [matemática] U, V \ subconjunto X [/ matemática] son conjuntos abiertos (y por lo tanto densos por irreductibilidad) entonces [matemática] U \ cap V [/ matemática] es un subconjunto abierto denso de [matemáticas] X [/ matemáticas].
Esto se aplica en todo el lugar en geometría algebraica. Muchas condiciones geométricas están “obviamente” abiertas en familias continuas. En otras palabras, dada una familia [matemática] \ matemática {X} \ a B [/ matemática] parametrizada por alguna base [matemática] B [/ matemática], el conjunto de todos [matemática] b \ en B [/ matemática] tal que la fibra [math] X_b [/ math] tenga la propiedad dada es un subconjunto abierto de [math] B [/ math].
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Aquí hay algunos ejemplos típicos de propiedades abiertas:
- En una familia de variedades, la suavidad es una condición abierta.
- Como señala el enlace de Kevin Lin, no tener automorfismos está abierto en familias planas.
- En una familia de haces de vectores o gavillas, no tener cohomología es una condición abierta. Más generalmente, tener “la menor cantidad de secciones posible” es una condición abierta.
- La reducción es una propiedad abierta.
Y así sucesivamente y así sucesivamente.
Ahora supongamos que tengo un espacio de módulo que parametriza alguna colección de objetos geométricos (estoy siendo muy vago aquí, ya que las posibilidades son infinitas. Curvas, variedades, curvas marcadas, subesquemas de una variedad, gavillas, etc.) Digamos que tengo dos abiertos propiedades P y Q de tales objetos geométricos, y quiero encontrar un objeto X que satisfaga tanto a P como a Q. Si el espacio de módulo es irreducible, es suficiente exhibir un objeto Y que satisfaga P y un objeto Z que satisfaga Q: entonces el objeto general X debe satisfacer tanto P como Q por irreductibilidad.
Sin irreductibilidad del espacio de módulos, este tipo de argumento es tautológicamente defectuoso. De hecho, el espacio de módulos puede tener un componente que parametriza objetos con propiedad P y otro componente que parametriza objetos con propiedad Q. Como ejemplo, el espacio de módulo de todas las curvas suaves no es irreductible, ya que el género es un invariante discreto que es constante en cada componente del espacio de módulos.
Yo mismo he usado un argumento en este sentido en un paso clave en una de mis publicaciones:
Interpolación, estabilidad de Bridgeland y esquemas monomiales en el avión.
Brevemente, hay algunos espacios de módulo [matemática] M (\ xi) [/ matemática] de paquetes de vectores en el plano con un conjunto dado de invariantes numéricos [matemática] \ xi [/ matemática]. Hay dos paquetes de vectores [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], y sabemos que para una [matemática] general E \ en M (\ xi) [/ matemática] el paquete vectorial [matemática] ] E \ otimes A [/ math] no tiene cohomología y para una [math] general F \ in M (\ xi) [/ math] el paquete [math] F \ otimes B [/ math] no tiene cohomology. Dado que estas son propiedades abiertas y el espacio de módulo es irreducible, podemos concluir que para una [matemática] E \ en M general (\ xi) [/ matemática] tanto [matemática] E \ otimes A [/ matemática] como [matemática] E \ otimes B [/ math] no tienen cohomología. La irreductibilidad del espacio de módulos es absolutamente esencial para hacer un argumento en este sentido.
