Hablemos de otra cosa primero. Digamos que estoy tratando de descubrir cómo integrar funciones, entonces el lugar obvio para comenzar es integrar funciones de la forma [math] f (x) = x ^ n [/ math]. Ahora resulta que es bastante fácil hacer esto para funciones donde [math] n \ neq -1 [/ math]. Es decir [matemáticas] \ int x ^ n \ dx = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C [/ matemáticas]. Sin embargo, esto claramente no es el caso cuando [math] n = -1 [/ math], y resulta que no podemos expresar esta integral en términos de ninguna de nuestras otras funciones fundamentales. Entonces definimos una nueva función para describir esta integral: [math] ln (x) = \ int_1 ^ x \ frac {1} {x ‘} \ dx’ [/ math].
Usando esto como nuestra definición para la función logarítmica, podemos derivar todas esas identidades de logaritmo. Por ejemplo: [matemáticas] ln (ab) = \ int_1 ^ {ab} \ frac {1} {x ‘} \ dx’ = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x ‘} \ dx’ + \ int_a ^ {ab} \ frac {1} {x ‘} \ dx’ [/ math], deje que [math] u = ax ‘[/ math] y [math] du = adx’ [/ math], luego [math] \ int_1 ^ a \ frac {1} {x ‘} \ dx’ + \ int_a ^ {ab} \ frac {1} {x ‘} \ dx’ = ln (a) + \ int_1 ^ b \ frac {a} { au} \ du = ln (a) + \ int_1 ^ b \ frac {1} {u} \ du = ln (a) + ln (b) [/ math]. Así [matemáticas] ln (ab) = ln (a) + ln (b) [/ matemáticas].
Para los puntos de bonificación, podemos definir una nueva función [matemática] g (x) [/ matemática] tal que [matemática] g (ln (x)) = x [/ matemática]. Esta función tiene una propiedad sorprendente, que podemos ver si tomamos la derivada de ambos lados de esta igualdad. [matemáticas] \ frac {d} {dx} g (ln (x)) = \ frac {d} {dx} x \ implica g ‘(ln (x)) \ frac {1} {x} = 1 \ implica g ‘(ln (x)) = x [/ matemáticas]. ¡Esta función es su propia derivada! Por supuesto, [math] g (x) [/ math] se conoce como la función exponencial [math] g (x) = e ^ x [/ math]. Esta es la definición rigurosa de la función exponencial.
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