La respuesta anterior no responde la pregunta.
Yo también estaba perplejo sobre esta suposición. La misma suposición aparece en
Página en uga.edu y Página en mit.edu. Aquí está mi explicación.
La explicación breve es “¡porque este valor en particular funciona!”.
- ¿Qué significa el símbolo matemático | ->?
- ¿Cuál es un ejemplo de una prueba que se ha simplificado mediante el uso de la teoría de categorías?
- Álgebra abstracta: ¿Hay un campo que no sea característico cero?
- ¿Cuáles son los factores primos de 100?
- ¿Se puede usar el origami para construir todos los números algebraicos?
Tenemos una expresión válida en el Paso 2 para [matemáticas] n = 2 ^ k [/ matemáticas]. Para n no un múltiplo de 2, necesitamos “rellenar” la expresión de n términos a un número mayor que sea múltiplo de dos (y siempre serán uno). Una vez que hayamos hecho eso, podemos usar la expresión que ya hemos derivado y trabajar al revés.
Las pruebas hacen uso del hecho de que si [math] A [/ math] es la media aritmética de un conjunto de números [math] n [/ math], entonces puede agregar [math] A [/ math] a la suma , divídalo entre [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] y obtenga el mismo resultado.
[matemáticas] \ frac {a_1 + \ ldots + a_n + A} {n + 1} = \ frac {a_1 + \ ldots + a_n} {n} = A [/ matemáticas]
En nuestro caso, agregamos esto [matemáticas] 2 ^ kn [/ matemáticas] para que nuestro lado izquierdo no cambie de valor pero tenga los términos [matemáticas] 2 ^ k [/ matemáticas] requeridos.
[matemáticas] LHS = \ frac {a_1 + \ ldots + a_n + A + \ ldots + A} {2 ^ k} = A [/ matemáticas]
Ahora es una cuestión simple eliminar estos términos adicionales de ambos lados de la desigualdad mediante aritmética simple y derivar una expresión válida para n términos. Esto se muestra en la página de Wikipedia, y así es como lo hizo Cauchy en su artículo de 1821. En mi humilde opinión, el método de inducción hacia atrás es simplemente confuso, e implícitamente hace las mismas suposiciones.
