¿Cuáles son las ideas principales / fundamentales en matemáticas?

Geometría diferencial: ¡descubramos qué significa realmente la curvatura, pero sin definirla con coordenadas!
Topología algebraica: ¡cuentemos agujeros en las formas!
Geometría algebraica: ¡generalicemos todo lo que se mueve para comprender realmente lo que significa “forma”! ¡De esta manera podemos ver las cosas como formas, incluso cuando en realidad no son formas, como formas de números primos! ¡Entonces cuentemos agujeros en ellos!
Teoría de números: ¡intentemos probar el último teorema de Fermat! Al parecer, tenemos que generalizar la idea de los números primos! Oh, espera, esta generalización satisface algunas cosas raras … Oh, eso es genial. Espera, esto es verdad?!?!? ¿Por qué? Oh, ¿aparentemente es parte de un patrón que es el patrón más complicado y elegante del planeta? (Programa Langlands) ¡Qué extraño! Tratemos de entender más …
Matemática aplicada: hagamos cálculos aburridos y luego ganemos mucho dinero.