Hay inquietantemente muchas de esas preguntas.
De hecho, tome cualquier conjunto (no vacío) [math] S [/ math]. Déle la topología trivial donde los únicos subconjuntos abiertos son [math] \ emptyset [/ math] y [math] S [/ math]. Ahora, haga la pregunta: “¿Cuántas funciones continuas hay desde [matemáticas] S [/ matemáticas] hasta un conjunto discreto de 24 elementos?” La respuesta es 24.
¿Por qué? Tome cualquier función continua [matemática] f [/ matemática], y suponga que [matemática] y [/ matemática] está en la imagen de [matemática] f [/ matemática]. El conjunto [math] \ {y \} [/ math] es un subconjunto abierto del conjunto discreto de 24 elementos y, por lo tanto (por la definición de una función continua), su imagen previa debe ser un subconjunto abierto de [math ] S [/ matemáticas].
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Pero [math] S [/ math] tiene solo dos subconjuntos abiertos, y no puede ser [math] \ emptyset [/ math], ya que asumimos que [math] y [/ math] estaba realmente en la imagen. Por lo tanto, la imagen previa de [math] y [/ math] debe ser toda [math] S [/ math], lo que significa que [math] f (x) = y [/ math] para cualquier elemento [ matemáticas] x \ en S [/ matemáticas].
Lo que hemos demostrado es que cualquier función continua desde [math] S [/ math] hasta el conjunto discreto de 24 elementos debe ser una función constante. Como el conjunto de objetivos tiene 24 elementos, existen 24 funciones constantes posibles y la respuesta es 24.
Ahora, dado que no hay un conjunto de todos los conjuntos (o incluso un conjunto de todos los cardenales, esta colección es demasiado grande para ser un conjunto), acabamos de demostrar que la colección de todas las preguntas matemáticas distintas con la respuesta 24 es muy grande .
