Gracias por el A2A. Bueno, la prueba depende de los hechos que se supone que debes usar. Sin embargo, esos son rutinarios y se pueden mostrar fácilmente.
Sea [math] G [/ math] un grupo de orden [math] n [/ math].
Por ejemplo, es bien sabido que
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Prueba.
[math] “\ Rightarrow” [/ math] Suponga que [math] G = \ langle a \ rangle [/ math] es cíclico, es decir, es generado por los poderes de [math] a \ en G [/ math]. Entonces [math] a ^ {\ frac {kn} {d}} \ en G [/ math] tiene claramente el orden [math] d [/ math] si y solo si [math] (k, d) = 1 [/ matemáticas]. En particular, verá que todos los elementos de orden [matemática] d [/ matemática] generan el grupo [matemática] H = \ langle a ^ {\ frac {n} {d}} \ rangle [/ matemática] con [matemática] | H | = d [/ matemáticas]. Si fuera otro subgrupo [matemático] H ‘[/ matemático] de orden [matemático] d [/ matemático], sería cíclico por 1. , por lo que sería generado por el elemento de orden [matemático] d. [/ matemática] Pero todos esos elementos ya generan [matemática] H [/ matemática], entonces [matemática] H ‘= H [/ matemática].
La dirección difícil:
[matemáticas] “\ Leftarrow” [/ matemáticas]. Sea [math] n> 1. [/ math] Queremos demostrar que [math] G [/ math] es cíclico. Tenemos la siguiente descomposición en factores primos: [math] n = p_1 ^ {s_1} p_2 ^ {s_2} \ ldots p_r ^ {s_r}. [/ Math]
Deje que [math] q \ in \ {p_1, p_2, \ ldots, p_r \} [/ math] sea uno de estos números primos y [math] s \ in \ {s_1, s_2, \ ldots, s_r \} [/ math ] el poder correspondiente.
Deje que [math] H_ {q ^ {s}} [/ math] sea un subgrupo único de [math] G [/ math] con elementos [math] q ^ {s} [/ math].
Las órdenes de elementos en [math] H_ {q ^ {s}} [/ math] son poderes de [math] q [/ math]. Si no hay elementos de orden [matemática] q ^ {s} [/ matemática], todos los elementos deben ser de orden menor o igual [matemática] q ^ {s-1} [/ matemática]. Pero hay como máximo un subgrupo de cada orden [matemática] q ^ {i} [/ matemática], por lo que el número de elementos en [matemática] H_ {q ^ {s}} [/ matemática] no puede exceder [matemática] q ^ {s-1} + q ^ {s-2} + \ ldots + 1 [/ math]. Pero [matemáticas] q ^ {s-1} + q ^ {s-2} + \ ldots + 1 <q ^ {s} [/ matemáticas] lo cual es una contradicción. Muestra que [math] H_ {q ^ {s}} [/ math] es cíclico.
Además, [math] H_ {q ^ {s}} [/ math] es un subgrupo normal de [math] G [/ math] ya que debe ser igual a todos sus conjugados (porque es único de orden [math] q ^ {s} [/ matemáticas]).
Ahora puede aplicar iterativamente 2. y 3. para concluir que [math] G [/ math] también es cíclico.
