¿Cómo se describe un tensor en matemática de la relatividad en términos simples?

Esto resume mi comprensión del uso de tensores basados ​​en mis experiencias educativas. Sin embargo, dudo seriamente que haya algo en la literatura que use mis palabras precisas. Así que no puedo citar referencias para esto. Ni siquiera puedo jurar que todo lo que digo es “correcto”, pero tal vez ayude.

Restringiré esta cantidad de tensor de discusión que puede representarse mediante una matriz 4 × 4 o un vector de 4 tuplas. Gran parte de la física puede ser descrita matemáticamente por dichos tensores.

La mayoría de los campos de la física comienza con la suposición de que los cuerpos corporales en un problema de física pueden dividirse en un marco de referencia que hace la observación y un sistema que se está observando. Un cuerpo corpóreo tiene que estar en uno u otro exclusivamente. Los cuerpos en el marco de referencia incluyen los instrumentos de medición, con propiedades denominadas observables. Los cuerpos bajo observación se caracterizan por mediciones, también llamadas observadas.

Puede ver que la división entre el marco de referencia y el sistema observado es algo arbitraria. El criterio para la separación está determinado por los sistemas de coordenadas utilizados para describir cada uno. Más sobre eso, más tarde.

Cualquier cantidad observable puede describirse mediante un vector de 4 tuplas denominado cantidad contra-variante. Cualquier cantidad observada puede describirse mediante un vector de 4 tuplas llamado cantidad covariante. Cualquier ley dinámica en física puede describirse mediante una expresión que contenga el producto externo de los dos vectores (una matriz) o el producto escalar de las dos matrices.

La suposición principal de la física clásica es que las expresiones de las leyes fundamentales del universo no cambian por un intercambio de lo observable y lo observado.

Esta hipótesis básicamente dice que uno puede intercambiar los instrumentos de medición y el sistema que se observa sin cambiar la expresión de la ley fundamental del universo. En términos simples, las fuerzas internas que hacen que los instrumentos de medición funcionen son las mismas que las fuerzas internas que hacen que los cuerpos observables se muevan.

Dije anteriormente que los sistemas de coordenadas utilizados para describir el marco de referencia y los observables deben ser consistentes para que cualquier ley física sea válida. Sin embargo, uno puede cambiar el sistema de coordenadas mediante una transformación.

La transformación generalmente se describe mediante una matriz. Si la transformación deja la ley fundamental sin cambios, entonces la ley fundamental se considera invariante para la transformación. Las transformaciones que dejan una ley fundamental sin cambios se llama relación de simetría.

Toda la física clásica supone que las leyes fundamentales no cambian de acuerdo con alguna transformación. La transformación tiene que aplicarse tanto a los observables como a los observados, por supuesto. La mecánica newtoniana presupone que una transformación galileana deja las leyes fundamentales del universo sin cambios. La relatividad de Einstein supone que una transformación de Lorentz deja las leyes fundamentales sin cambios.

Mi opinión es que la mecánica clásica se basa en la simetría de intercambio entre los instrumentos de medición y los cuerpos que se miden. Mi conjetura es que la mecánica cuántica y la termodinámica a veces no parecen consistentes con la mecánica clásica, porque sus leyes fundamentales se modifican mediante un intercambio entre los instrumentos de medición y el sistema que se examina.

Los temas de la teoría cuántica de campos y la termodinámica son un poco confusos ya que las leyes fundamentales cambian por un intercambio de lo observable y lo observado. En la interpretación de Copenhague (QM), los observables actúan como una onda y el marco de referencia actúa como un sistema de partículas. En termodinámica, los depósitos de calor no actúan igual que el motor térmico.

De vuelta a los tensores. Esta es mi explicación heurística de por qué funcionan los tensores.

La matemática de los tensores facilita el análisis donde tanto el marco de referencia como el sistema que se examina son invariables para el intercambio. Los tensores son simples en los casos en que los instrumentos de medición están hechos del mismo tipo de materiales que el sistema bajo examen. Los tensores funcionan porque las fuerzas internas que mantienen unidos los instrumentos de medición también mantienen el sistema bajo examen.

En teoría física, un tensor representa un objeto cuyo contenido es independiente del marco.

Tomemos un ejemplo de la relatividad especial, la masa escalar (un tensor de rango 0)

[matemáticas] m ^ 2 = E ^ 2- \ bf {p} ^ 2 [/ matemáticas].

Dependiendo de nuestro marco de referencia, tanto la energía como el momento pueden ser diferentes, pero todos los observadores deben estar de acuerdo con la masa en reposo. (Tenga en cuenta que ni la energía ni la magnitud del impulso espacial son escalares).

Para los tensores de rango superior, como el tensor de energía-momento [matemática] T ^ {\ mu \ nu} [/ matemática], es posible que se pregunte qué significa que el “contenido” sea independiente del marco. Un ejemplo sería la propiedad del tensor de momento de energía que su divergencia se desvanece

[matemáticas] \ nabla _ \ mu T ^ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas]

representando la propiedad fundamental de que todos los observadores están de acuerdo en que la energía se conserva.

Para ilustrar mejor cómo surge esto conceptualmente en física, cuando Einstein estaba desarrollando la Relatividad General, concluyó que 1) la física debería ser independiente del marco y 2) la geometría del espacio está influenciada por la materia que contiene [0]. Con esto, Einstein construyó el “tensor de Einstein”, [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas], encapsulando la curvatura y la geometría del espacio, y propuso que debería ser proporcional al tensor de momento de energía

[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]

donde [math] \ kappa = 8 \ pi G / c ^ 4 [/ math] es necesario para reproducir la física newtoniana a bajas energías.

[0] También había un tercer requisito que estipuló que no debería aparecer más que el segundo derivado. Esto puede sonar arbitrario, pero vea, por ejemplo, esta publicación ¿Por qué la mayoría de las leyes físicas son de segundo orden?

Aquí está mi punto de vista como matemático aplicado. Gran parte, pero no toda, de la “mística” en la relatividad [y la teoría cuántica] surge de las propiedades del tensor.

Para comenzar, piense en términos de probabilidad simple. Lanzo una moneda. Me sale cara o cruz. Llamemos cabezas 1, colas cero. Luego, si volteo dos veces, obtengo las siguientes opciones. {00,01,10,11}. Con tres vueltas obtengo 8 resultados:

{000, 001,010,011,100,101,110,111}. Ves que las opciones crecen exponencialmente. Esto puede describirse recursivamente usando tensores. Tomemos dos vectores [matemáticas] \ vec {x}, \ vec {y}. [/ Matemáticas]

Estos se tratan como vectores de fila de cualquier dimensión. Luego, denotamos el producto tensorial como [matemáticas] \ vec {z} \ equiv \ vec {x} \ otimes \ vec {y}, dim {\ vec {z}} = dim {\ vec {x}} + dim { \ vec {y}}, \ vec {z} = [\ vec {x} y_1, \ vec {x} y_2, … ..]. [/ math]

El poder real viene cuando se usan variables para representar los vectores individuales. Entonces, por ejemplo, tenemos tres lanzamientos de monedas usando secuencias para representar vectores, con probabilidad de caras p y colas q:

[matemáticas] \ {p, q \} \ otimes \ {p, q \} \ otimes \ {p, q \} \ equiv \ {p ^ 3, p ^ 2q, pqp, pq ^ 2, qp ^ 2, qpq, q ^ 2p, q ^ 3 \}. [/ math]

Inmediatamente vemos algunas cosas interesantes, 3) se refiere especialmente a la relatividad:

1) El crecimiento dimensional de la probabilidad, a menudo llamado árbol binomial para el simple lanzamiento de la moneda, se puede describir inmediatamente como un operador tensorial.

2) ¡Aquí aparece el material de superposición cuántica wierdo, incluso con solo lanzar una moneda! ¿Quieres impresionar a tus amigos en una fiesta nerd? Puedes sacar todo tipo de ideas geniales. Aquí, déjame impresionarte: Copenhague; multiverso muchas teorías mundiales; superposición de universos; ¡todo con solo lanzar una moneda! Simplemente arroje una moneda tres veces y cree 8 universos , [matemática] [/ matemática] [matemática] \ {p ^ 3, ppq, pqp, pqq, qpp, qpq, qqp, q ^ 3 \}, \ [/ math] todo en superposición.

La moneda, como el gato de Schrodinger, es tanto una cabeza como una cola hasta que la observamos . ¡Como un tipo increíble! ¡Dame otra cerveza! ¿Tonterías que dices? Bueno, esto es más o menos el mismo sinsentido que surge en la “interpretación” de la teoría cuántica. [Por supuesto, sin “probabilidades” negativas como la que tenemos en cuanto, esta superposición es menos interesante.]

3) Dado que p y q conmutan (estamos haciendo operaciones abelianas simples aquí) obtenemos aquí clases de equivalencia que son equiprobables. Un gran problema en el análisis de tensor es encontrar tales simetrías. En relatividad, aquí es donde entra en juego toda la idea de la invariancia del espacio-tiempo. También puede usar este “truco” para calcular las probabilidades estándar. Deje 0 ser caras y 1 colas. Si arrojamos N veces y denotamos por P una operación de permutación, entonces:

[math] Prob ([/ math] [math] N \ tosses \ rightarrow m \ heads)) = P (\ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle) ^ {\ otimes_ {i = 1} ^ N} ) = c | 111..10… .0 \ rangle, \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = 1. [/ math]

Aquí el lado derecho tiene m 0 y nm 1, y buscamos c. Desde [matemáticas] (a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle) \ otimes (d | 0 \ rangle + e | 1 \ rangle) = ad | 00 \ rangle + ae | 01 \ rangle + bd | 10 \ rangle + be | 11 \ rangle [/ math] vemos que [math] c = \ alpha ^ {2m} \ beta ^ {2n-2m} [/ math]