Aquí hay una imagen de la luz que pasa a través de una lente (índice de refracción de 1.3): 
Si el principio de Fermat dice que la luz toma el camino más rápido, ¿qué camino es ese? El camino inferior va en línea recta, por lo que es el más corto. Por otro lado, atraviesa la parte más gruesa de la lente, por lo que se ralentiza. El camino superior es el más largo, pero solo atraviesa una pequeña lente en la parte superior. Debido a que hay una compensación entre hacer el camino más corto y ser frenado por el vidrio, no está claro de inmediato qué camino es el más rápido.
Si la lente está construida correctamente, es posible que ninguna ruta sea más rápida. En cambio, todos pueden ser lo mismo. Hacemos esto ajustando el grosor para que las rutas más cortas tengan la cantidad correcta de vidrio adicional en comparación con las rutas más largas.
Este es el principio de Fermat en acción; en realidad dice que la luz toma no solo un camino más corto en particular, sino cualquier camino cuyos vecinos tomen el mismo tiempo. En muchas situaciones, ese es el camino más corto solamente. Aquí, debido a que todos los caminos a través de la lente tienen vecinos que toman la misma cantidad de tiempo, la luz toma todos estos caminos a la vez. Cuando todos los caminos son más cortos, todos se toman. Esto se llama enfoque.
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El enfoque solo funciona si las diferencias en la longitud de la ruta son las correctas para el grosor de la lente. Si movemos el punto del objeto, cambiaremos cuánto más largo es el camino superior que el camino inferior, y eso arruina el enfoque. Tendremos que compensar moviendo la imagen por el otro lado. (Y no es obvio que incluso esto funcionará. Tal vez mover el objeto alrededor arruina las cosas tan mal que tendrías que hacer una nueva lente para que funcione, aunque veremos que esto no es así. )
Para abordar este problema cuantitativamente, veamos la distancia focal. Aquí está la idea básica: 
Esta es la misma lente, pero me acerqué y elegí que la luz saliera del punto focal de la lente. Todo se mueve hacia la lente y luego emerge en paralelo.
Nuevamente, los caminos vecinos deben tomar el mismo tiempo. Como las líneas a la derecha son todas paralelas, toman el mismo tiempo y pueden ignorarse. El tiempo perdido moviéndose a través de la lente tendrá que cancelar exactamente las diferencias en el tiempo dedicado a llegar a la lente.
Simplifiquemos nuestra imagen a solo dos rayos: 
Queremos saber la diferencia en la longitud de su ruta, por lo que desecharemos la lente de la imagen y agregaremos etiquetas: 
Queremos saber [matemática] af [/ matemática], la diferencia en las longitudes de ruta para ir a diferentes partes de la lente. Aquí hay una manera de visualizarlo, aproximadamente: 
Esta imagen tiene tres triángulos rectángulos similares. El grande es el original, con hipotenusa [matemática] a [/ matemática]. Luego hay uno mediano que es un poco más pequeño que el grande. Está al revés y tiene hipotenusa [matemáticas] f [/ matemáticas]. Finalmente, hay uno pequeño a la derecha con hipotenusa [matemáticas] h [/ matemáticas].
Mi afirmación es que [matemáticas] a – f \ aprox \ delta [/ matemáticas]; el segmento rojo es aproximadamente el doble de la diferencia que estamos buscando. Eso es porque en el triángulo grande, [matemática] a [/ matemática] es más larga que [matemática] f [/ matemática]. En el triángulo medio, [matemáticas] f [/ matemáticas] es ahora el lado más largo. Sin embargo, estos triángulos son similares, por lo que la proporción de lados es la misma. También son esencialmente idénticos en tamaño porque [math] \ delta [/ math] es muy pequeño. Eso significa que [math] f [/ math] es más pequeño que [math] a [/ math] en aproximadamente la misma cantidad [math] a – 2 \ delta [/ math] es más pequeño que [math] f [/ math], y eso significa [matemáticas] a – f \ aprox \ delta [/ matemáticas].
Usando triángulos similares,
[matemáticas] \ frac {2 \ delta} {h} = \ frac {h} {f} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ delta = \ frac {h ^ 2} {2f} [/ matemáticas]
Esta es una expresión aproximada de cuánto más tiene que viajar la luz para llegar a la lente a una distancia [matemática] h [/ matemática] arriba del eje. Observe que el factor [math] \ frac {1} {f} [/ math] es de aquí de donde vendrá la ecuación de la lente sobre la que preguntó.
Volvamos al escenario original con la luz pasando de un objeto a una imagen:
La geometría aquí es la misma, solo se repite en ambos lados reemplazando [matemática] i [/ matemática] y [matemática] o [/ matemática] por [matemática] f [/ matemática]. Además, la cantidad en que el vidrio reduce la velocidad de la luz en la ruta superior es la misma que antes, por lo que podemos establecer el retraso en este escenario igual al retraso en el anterior.
[matemáticas] \ frac {h ^ 2} {2f} = \ frac {h ^ 2} {2i} + \ frac {h ^ 2} {2o} [/ matemáticas]
Afortunadamente, [math] h [/ math] se cancela, lo que significa que es posible enfocar toda la luz de un punto a otro con esta configuración; no solo estamos ajustando para una altura particular. Cancelando como factores, obtenemos
[matemáticas] \ frac {1} {f} = \ frac {1} {i} + \ frac {1} {o} [/ matemáticas]
cuál es la ecuación de la lente que preguntaste.
Como beneficio adicional, veamos el grosor de la lente. Si la lente tiene un grosor [matemático] t [/ matemático], ralentizará la luz en [matemático] (n-1) t [/ matemático] en relación con la situación sin vidrio. Podemos establecer esta ecuación de desaceleración a la diferencia de longitud de ruta de antes
[matemáticas] (n-1) t = \ frac {h ^ 2} {2f} [/ matemáticas]
Si las lentes son esféricas con un radio de curvatura [matemática] R [/ matemática], un poco de geometría esencialmente idéntica a la que hicimos antes da [matemática] t = \ frac {h ^ 2} {R} [/ matemática ] Sustituyendo,
[matemáticas] \ frac {1} {f} = (n-1) \ frac {2} {R} [/ matemáticas]
cuál es la ecuación de lente delgada.
* Esta respuesta asume el límite de la óptica geométrica. Cuando tiene características que varían en escalas comparables a la longitud de onda de la luz, esta interpretación del principio de Fermat no es válida. También estoy trabajando en el límite de una lente delgada y pequeña, lo que evita las aberraciones.
