Creo que tu descripción es bastante precisa. Sin embargo, me gustaría agregar algunos puntos, no tanto para corregir lo que escribió (no creo que haya nada que deba corregirse) sino para agregarle.
Si las ecuaciones de movimiento son, como máximo, de segundo orden, se puede seleccionar una solución única desde el espacio de la solución proporcionando solo los valores (no derivados) de las funciones desconocidas en los dos puntos finales.
Por otro lado, también se puede seleccionar una solución única al proporcionar los valores y las primeras derivadas de las funciones desconocidas en solo uno de los puntos finales. Esto es lo que le da a la física lagrangiana su poder predictivo.
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Los lagrangianos de orden superior fueron estudiados sistemáticamente por Ostrogradsky (“Mémoire sur les équations différentielles, familiar au problème des isopérimètres”, Mem. Acad. St. Petersbourg 6 (1850) 385; nunca vi el artículo original; acabo de pasar un frustrante media hora en Google Books y archive.org, pero sin mucha suerte, es posible que este volumen en particular no se haya digitalizado (¿todavía?) Una pena, estoy seguro de que sería un documento interesante para leer).
En algunos casos especiales, el lagrangiano puede contener derivados más altos sin conducir a un comportamiento no deseado. Un ejemplo clásico es el Lagrangiano de Einstein-Hilbert (densidad) de la relatividad general, que contiene las primeras y segundas derivadas de la métrica (para recapitular, en el formalismo de una teoría del campo relativista, los campos bajo investigación toman el lugar de las coordenadas generalizadas , mientras que las coordenadas espacio-temporales reales reemplazan la variable independiente t.) Un lagrangiano genérico de este tipo conduciría a ecuaciones de campo que contienen derivadas hasta la cuarta derivada. Sin embargo, en el caso de la relatividad general, las derivadas más altas se cancelan y lo que queda es el conjunto de ecuaciones de campo de segundo orden de Einstein.
Finalmente, los lagrangianos de orden superior, aunque problemáticos, pueden ser legítimos bajo ciertas circunstancias, al menos tan efectivos como los lagrangianos; véase, por ejemplo, [hep-ph / 9306321] efectivos lagrangianos con derivados de orden superior.
