El problema de Busemann-Petty (planteado en 1956) tiene una historia interesante. Hace la siguiente pregunta: si K y L son dos cuerpos convexos simétricos de origen en Rn, de modo que el volumen de cada sección del hiperplano central de K es menor que el volumen de la sección correspondiente de L:
Voln − 1 (K∩ξ⊥) ≤Voln − 1 (L∩ξ⊥) para todos ξ∈Sn − 1,
¿Se deduce que el volumen de K es menor que el volumen de L Voln (K) ≤Voln (L)?
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La reacción instintiva de muchos matemáticos a la pregunta es que la respuesta debe ser sí y el teorema de singularidad de Minkowski proporciona alguna justificación matemática para tal creencia: el teorema de singularidad de Minkwoski implica que un cuerpo estelar simétrico de origen en Rn está completamente determinado por los volúmenes de su hiperplano central. secciones, por lo que estos volúmenes de secciones centrales de hiperplano contienen una gran cantidad de información sobre los cuerpos. Se creía ampliamente que la respuesta al problema de Busemann debía ser cierta, aunque todavía era una conjetura en gran parte sin abrir.
Sin embargo, en 1975 todos fueron tomados por sorpresa cuando Larman y Rogers produjeron un contraejemplo que muestra que la afirmación es falsa en n≥12 dimensiones. Su contraejemplo fue bastante complicado, pero en 1986, Keith Ball demostró que la sección máxima del hiperplano del cubo de la unidad es 2, independientemente de la dimensión, y una consecuencia de esto es que el cubo de la unidad centrada y una bola centrada de radio adecuado proporcionar un contraejemplo cuando n≥10. Algún tiempo después, Giannopoulos y Bourgain (independientemente) dieron contraejemplos para n≥7, y luego Papadimitrakis y Gardner (independientemente) dieron contraejemplos para n = 5,6.
En 1992, solo los casos tridimensionales y cuádruples del problema de Busemann-Petty quedaron sin resolver, ya que el problema es trivialmente verdadero en dos dimensiones y en ese punto se habían encontrado contraejemplos para todos los n≥5. Alrededor de este tiempo, la teoría se había desarrollado conectando el problema con la noción de un “cuerpo de intersección”. Lutwak demostró que si el cuerpo con secciones más pequeñas es un cuerpo de intersección, entonces se sigue la conclusión del problema de Busemann-Petty. El trabajo posterior de Grinberg, Rivin, Gardner y Zhang fortaleció la conexión y estableció que el problema de Busemann-Petty tiene una respuesta afirmativa en Rn si cada cuerpo convexo simétrico de origen en Rn es un cuerpo de intersección. Pero la cuestión de si un cuerpo es un cuerpo de intersección está estrechamente relacionado con la positividad de la transformación de radón esférica inversa. En 1994, Richard Gardner utilizó métodos geométricos para invertir la transformada esférica de Radón en tres dimensiones de tal manera que se demostrara que el problema tiene una respuesta afirmativa en tres dimensiones (lo cual fue sorprendente ya que todos los resultados hasta ese momento habían sido negativos ) . Luego, en 1994, Gaoyong Zhang publicó un artículo (en Annals of Mathematics) que afirmaba probar que el cubo unitario en R4 no es un cuerpo de intersección y, como consecuencia, que el problema tiene una respuesta negativa en n = 4
Durante tres años, todos creyeron que el problema se había resuelto, pero en 1997 Alexander Koldobsky (que estaba trabajando en problemas completamente diferentes) proporcionó un nuevo enfoque analítico de Fourier a los cuerpos convexos y, en particular, estableció una caracterización analítica de Fourier muy conveniente de los cuerpos de intersección. Usando su nueva caracterización, demostró que el cubo de la unidad en R4 es un cuerpo de intersección, contradiciendo la afirmación anterior de Zhang. Resultó que el documento de Zhang era incorrecto y esto volvió a abrir el problema de Busemann-Petty nuevamente.
Después de enterarse de que los resultados de Koldobsky contradecían sus afirmaciones, Zhang demostró rápidamente que, de hecho, cada cuerpo convexo simétrico de origen en R4 es un cuerpo de intersección y, por lo tanto, que el problema de Busemann-Petty tiene una respuesta afirmativa en R4, lo contrario de lo que había afirmado anteriormente. . Este artículo posterior también se publicó en Annals, por lo que Zhang puede ser quizás la única persona que haya publicado en una revista tan prestigiosa tanto P como esa ¬P.
Fuente: mathoverflow. Red
