¿Seguiría siendo un cicloide la braquistocrona si consideramos la fricción?

Probablemente no. Tratemos de descubrir qué es. Queremos minimizar una función de altura [math] h (x) [/ math] para que la ruta ofrezca el menor tiempo posible. Invertimos el eje y para hacer los cálculos un poco más fáciles.

Si calculamos la energía perdida debido a la fricción y encontramos la velocidad de una partícula en un determinado punto, resulta ser, muy bien, [matemáticas] v = \ sqrt {2g (h- \ mu x)}. [/ math] (Los factores coseno simplemente se cancelan)

Sabemos que el tiempo que lleva viajar de un punto a otro es [matemáticas] \ int \ frac {ds} {v} = \ int \ sqrt {\ frac {1+ (dh / dx) ^ 2} {2g ( h- \ mu x)}} dx. [/ math]

Ahora, solo aplicamos la ecuación de Euler-Lagrange a todo este desastre …

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {h}}) = \ frac {\ partial L} {\ partial h} [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {d} {dt} (\ frac {\ dot {h}} {\ sqrt {(1+ \ dot {h} ^ 2) (2g (h- \ mu x))}}) = – \ sqrt {\ frac {1+ \ dot {h} ^ 2} {8g (h- \ mu x) ^ 3}} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ ddot {h}} {(1+ \ dot {h} ^ 2) ^ {3/2} (2g (h- \ mu x)) ^ {1/2}} + \ frac {\ dot {h} ^ 2- \ mu \ dot {h}} {(1+ \ dot {h} ^ 2) ^ {1/2} \ sqrt {8g} ((h- \ mu x)) ^ {3/2}} = \ frac {\ sqrt {\ dot {h} ^ 2 + 1}} {\ sqrt {8g (h- \ mu x) ^ 3}} [/ math]

Afortunadamente, esto simplifica mucho:

[matemáticas] \ frac {\ ddot {h}} {(1+ \ dot {h} ^ 2)} + \ frac {\ dot {h} ^ 2- \ mu \ dot {h}} {2 (h- \ mu x)} = \ frac {\ dot {h} ^ 2 + 1} {2 (h- \ mu x)} [/ math]

[matemáticas] \ ddot {h} = \ frac {(1+ \ dot {h} ^ 2) (1+ \ mu \ dot {h})} {2 (h- \ mu x)} [/ matemáticas]

Y nos queda una ecuación diferencial de segundo orden que probablemente (?) No se puede resolver con funciones elementales. Sin embargo, esto no es un cicloide a menos que [math] \ mu = 0, [/ math].