¿Qué es [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas]?

Curiosamente, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es un número real.

Se puede aplicar la fórmula de Euler a partir de análisis complejos ([matemáticas] e ^ {i \ cdot x} = \ cos {x} + i \ cdot \ sin {x} [/ matemáticas]) para expresar [matemáticas] i ^ i [/ matemática] en términos de exponenciación de números reales:

[matemáticas] e ^ {i \ cdot \ frac {\ pi} {2}} = \ cos {\ frac {\ pi} {2}} + i \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] \ sin {\ frac { \ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ cdot \ frac {\ pi} {2}} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ cdot i \ cdot \ frac {\ pi} {2}} = i ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ frac {- \ pi} {2}} = i ^ i [/ matemáticas]

Creo que la mayoría de los matemáticos prefieren que la definición de la unidad compleja [matemáticas] i [/ matemáticas] sea un objeto con la propiedad de que [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. La diferencia parece pedante y despreciable, pero las matemáticas necesariamente involucran cierta cantidad de pedantería (en un sentido beneficioso), y pequeñas diferencias en definiciones y significados pueden explotar en su cara si no tiene cuidado.

En general (a menos que sea más natural en el problema en el que estamos trabajando), preferimos escribir exponenciales con la base natural [matemáticas] e [/ matemáticas], y usar la definición

[matemáticas] \ qquad a ^ b = \ exp (b \ ln a) = e ^ {b \ ln a} [/ matemáticas].

Esto también se aplica a los números complejos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], pero el logaritmo complejo generalmente tiene varios valores (a menos que tome la rama principal).

Suponga que [math] \ alpha = re ^ {i \ theta} [/ math], con [math] r> 0 [/ math] y [math] \ theta \ in (- \ pi, \ pi] [/ math] También tenemos que [math] \ alpha = re ^ {(\ theta + 2k \ pi) i} [/ math], donde [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math], como la función exponencial es periódica con el período [math] 2 \ pi i [/ math]. Por lo tanto, el logaritmo complejo de [math] \ alpha [/ math] es

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ ln \ alpha = \ ln r + (\ theta + 2k \ pi) i} [/ matemáticas].

Ahora podemos pensar en lo que significa [matemática] i ^ i [/ matemática]. Tomemos el fondo [math] i [/ math] y escribámoslo como un exponencial polar:

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad i = e ^ {(\ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi) i}} [/ matemáticas].

Ahora

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad i ^ i = \ left (e ^ {(\ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi) i} \ right) ^ i = e ^ {(\ frac {\ pi } {2} + 2k \ pi) i ^ 2} = e ^ {- (\ frac {\ pi} {2} + 2k \ pi)}} [/ math].

Esto tendría un valor principal tomado cuando [math] k = 0 [/ math], pero de hecho hay infinitos valores posibles , uno para cada número entero [math] k [/ math].

[matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es siempre un número real, ya que hay infinitas soluciones para esta pregunta. No se confunda después de ver un número complejo elevado a la potencia del número complejo.

Usando la fórmula de Euler,

[matemáticas] e ^ {i (2n + 1) \ pi} = \ cos {(2n + 1) \ pi} + i \ sin {(2n + 1) \ pi}, \ for \ n \ in \ mathbb { Z} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i (2n + 1) \ pi} = – 1 + 0i [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i (2n + 1) \ pi} = – 1 [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] -1 = e ^ {i (2n + 1) \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 1) ^ {\ dfrac {1} {2}} = e ^ {i (2n + 1) \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Tenemos,

[matemáticas] \ sqrt {-1} = e ^ {i (2n + 1) \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] i = e ^ {i (2n + 1) \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ i = e ^ {i ^ 2 (2n + 1) \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ i = \ left (e ^ {- 1 \ times \ dfrac {\ pi} {2}} \ right) ^ {2n + 1} [/ math]

[matemáticas] i ^ i \ aprox 0.20787957 ^ {2n + 1} [/ matemáticas]

Ya que,

[matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} \ Leftrightarrow n = – \ infty …, -2, -1,0,1,2, … \ enspace hasta \ enspace \ infty [/ math]

[matemática] (2n + 1) = – \ infty… -3, -1,1,3,5,… \ enspace hasta \ enspace \ infty [/ math]

[matemáticas] i ^ i = 0.20787957 ^ {- \ infty}…, 0.20787957 ^ {- 3}, 0.20787957 ^ {- 1}, 0.20787957, 0.20787957 ^ 3, 0.20787957 ^ 5,… \ enspace hasta \ enspace 0.20787957 ^ {\ infty} [/ math]

[matemáticas] i ^ i = \ infty…, 111.31777849, 4.81047738097, 0.20787957, 0.00898329102, 0.0003882032,… \ enspace hasta \ enspace 0 [/ math]

i ^ i es una muy buena pregunta. Se puede resolver mediante la forma de Euler de número complejo, que es

Deje z = x + iy

| Z | = √ (x ^ 2 + y ^ 2)

© = Argumento de número complejo

Tan © = | y / x |

Formulario Euler:

Z = | z | × e ^ (i × ©) (e = exponencial)

e ^ (i × ©) = cos © + i × sin ©

PRUEBA:

Z = 0 + i × 1… .. (1)

| Z | = 1

Tan © = y / x = 1/0 = Tanπ / 2

Entonces, © = π / 2

Poner valores en forma de Euler.

Z = | z | × e ^ (i × ©)

Z = 1 × e ^ (i × π / 2)

De 1)

Z = e ^ (i × π / 2) = I

Ahora poniendo valores en i ^ i

= (e ^ (i × π / 2)) ^ i

Poderes multiplicadores

= e ^ (i × i × π / 2)

= e ^ (i ^ 2 × π / 2)

Sabemos que i ^ 2 = -1

= e ^ (- π / 2)…. RESPONDER

Interesante,

Usando el hecho de que

[matemática] \ Grande e ^ {ik} = \ cos k + i \ sin k \ text {fórmula de Euler} [/ matemática]

tenemos

[matemáticas] i ^ {i} = (e ^ {\ frac {\ pi} {2} i}) ^ {i} = e ^ {- \ pi} {2} [/ matemáticas] que es realmente real

Pero sabemos que [matemáticas] i = 1 \ cdot i = e ^ {2 \ pi i} \ cdot i [/ math]

Además, dado que el pecado y el coseno son periódicos

[matemáticas] i = e ^ {\ pi i / 2 + 2ki \ pi}, k \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

Entonces,

[math] \ Large \ boxed {i ^ {i} = e ^ {\ frac {- \ pi} {2} – 2k \ pi}, k \ in \ mathbb {Z}} [/ math]

Hay infinitas soluciones, todas las cuales son reales.

Deje que [matemáticas] x = i ^ i [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ i = i ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ i = \ dfrac {1} {i} = – i [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ i = -i = \ cos \ left (\ dfrac {- \ pi} {2} +2 \ pi n \ right) + i \ cdot \ sin \ left (\ dfrac {- \ pi} { 2} +2 \ pi n \ right) = \ exp \ left (i \ left (\ dfrac {- \ pi} {2} +2 \ pi n \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] x ^ i = \ exp \ left (i \ left (\ dfrac {- \ pi} {2} +2 \ pi n \ right) \ right) [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] x = \ exp \ left (\ dfrac {- \ pi} {2} +2 \ pi n \ right) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ {e ^ {\ frac {- \ pi} {2}}, e ^ {\ frac {3 \ pi} {2}}, \ cdots \} [/ matemáticas]

Olvida que tienes [matemáticas] i ^ {i} [/ matemáticas]

Tomar i,

[matemáticas] i = 0 + i [/ matemáticas] —— 1

Sabemos que [math] sin \ dfrac {\ pi} {2} = 1 [/ math] y [math] cos \ dfrac {\ pi} {2} = 0 [/ math]

De vuelta a la ecuación 1 ,

[matemáticas] i = 0 + i = cos \ dfrac {\ pi} {2} + isin \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas] —— 2

De nuevo, sabemos

[matemáticas] e ^ {ix} = cosx + isinx [/ matemáticas]

De vuelta a la ecuación 2 ,

[matemáticas] i = e ^ {i \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] i ^ {i} = (e ^ {i \ dfrac {\ pi} {2}}) ^ {i} [/ matemáticas] —— 3

Sabemos,

[matemáticas] (a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {mn} [/ matemáticas]

De vuelta a la ecuación 3 ,

[matemáticas] i ^ {i} = e ^ {i * i \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ {i} = e ^ {i ^ {2} \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ {i} = e ^ {- \ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Esa es la respuesta final …

Si desea simplificar más, ponga el valor de ‘ e ‘ y créelo a [math] \ dfrac {\ pi} {2} [/ math],

Finalmente, obtendrás

[matemáticas] i ^ {i} = 0.20788 (aprox.) [/ matemáticas]

Gracias … sigue sonriendo …! ^ _ ^

~ Abhi

En realidad, [math] \ displaystyle i ^ {i} = e ^ {i \ log i} [/ math]. [matemática] \ displaystyle \ log i = \ log _ {e} | i | + i arg (i) [/ math], donde [math] \ displaystyle | i | = 1 [/ math] y [math] \ displaystyle arg (i) [/ math] es el ángulo que hago con la dirección positiva del eje x. Por lo tanto, [math] \ displaystyle arg (i) = \ frac {\ pi} {2} + 2n \ pi, n = 0, \ pm 1, \ pm 2 [/ math], …, y [math] \ displaystyle \ log i = 0 + i (\ frac {\ pi} {2} + 2n \ pi) = i (\ frac {\ pi} {2} + 2n \ pi) [/ math]. Entonces, [matemáticas] \ displaystyle i ^ {i} = e ^ {i (i \ frac {\ pi} {2} + 2n \ pi)} = e ^ {- \ pi / 2} e ^ {2n \ pi i} [/ matemáticas], [matemáticas] n = 0, \ pm 1, \ pm 2 [/ matemáticas], …

Debemos utilizar el logaritmo complejo para esto: [matemáticas] Log (z) = ln (| z |) + iarg (z) [/ matemáticas] donde arg (z) es la función de argumento que da el ángulo en el complejo plano entre z y el eje real positivo, al que podemos agregar cualquier múltiplo entero de [math] 2 \ pi i. [/ math] El exponencial complejo se define por [math] z ^ w = e ^ {wLog (z) }[/matemáticas]

Así [matemáticas] i ^ i = e ^ {i Log (i)} = e ^ {i (ln (| i |) + arg (i)} = e ^ {i (ln (1) + i \ frac { \ pi} {2} +2 \ pi in)} = e ^ {i (i (\ frac {\ pi} {2} +2 \ pi n))} = e ^ {\ frac {- \ pi} { 2} +2 \ pi n} [/ math] para [math] n \ in \ mathbb {Z}. [/ Math] Observe en el último paso cuando i * i = -1 y distribuimos, no necesitamos ponga un negativo delante de [matemáticas] 2 \ pi n [/ matemáticas] porque n representa un entero arbitrario positivo o negativo. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones. Tomar n = 0 produce el “valor principal” [matemáticas] e ^ {\ frac {- \ pi} {2}} [/ matemáticas]

En términos generales, los poderes complejos de los números complejos son ‘funciones multivalor’. Esto se desprende de la definición de funciones de poder

[matemáticas] z ^ a: = [/ matemáticas] [matemáticas] \ exp (a \ cdot \ log (z)) [/ matemáticas]

y el hecho de que [math] \ log (z) [/ math] tiene infinitas “ramas”, cada una de las cuales varía en [math] 2 \ pi im [/ math], donde [math] m \ in \ Z [/ math] , explícitamente dado por

[matemática] \ log (r \ cdot \ exp (i \ theta)) = \ log (r) + [/ matemática] [matemática] i \ theta + 2 \ pi im [/ matemática], donde [matemática] \ theta [/ math] por convención se elige entre ([math] – \ pi, \ pi [/ math]), y [math] r [/ math] es el valor absoluto del número complejo [math] z = r \ exp (i \ theta) [/ matemáticas]

Por lo tanto, para la pregunta dada,

[matemáticas] i ^ i = \ exp (i \ cdot \ log (i)) = \ exp (i \ cdot (\ log (1) + i \ pi / 2 + 2 \ pi im) [/ math]

[math] = \ exp (- \ pi / 2) \ cdot exp (-2 \ pi m) [/ math], donde [math] m = {0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots} [/ math]

De este modo, obtenemos un conjunto infinito de valores, solo uno de los cuales es la respuesta [matemática] e ^ {- \ pi / 2} [/ matemática], y sería incompleto decir esto como el único valor. Espero que esto ayude.

La fórmula de Euler para exp (ix) = cosX + isinX;
Enchufe X = pi;

exp (i * pi) = -1 // se llama la ecuación más bella, ya que utiliza los 5 números más importantes en matemáticas: e, i, 0, pi, 1

Rendimientos de raíz cuadrada: exp (i * pi / 2) = i (EQ)

elevar a la i-ésima potencia: exp (-pi / 2) = i ^ i

elevar (EQ) a (1 / i) potencia: exp (pi / 2) = i ^ (1 / i); [la raíz i-ésima de i … WO]

La tuya es mejor porque nos diste una familia de soln

Considerando la definición general de z ^ w:
[z ^ w] es un número no solo como en caso de variable real. Es un conjunto que consiste en infinito no. de valores.

[z ^ w] = {exp (wα): α ε [ln z]}

Usando la definición de [ln z]
[ln z] = {exp (ln | z | + iθ): θ ε [arg z]}

tenemos

[z ^ w] = {exp (w (ln | z | + iθ)): θ ε [arg z]}

Ahora llegando a su pregunta, valor de i ^ i

[i ^ i] = {exp (i (ln | i | + iθ): θ ε [arg i]}
= {exp (i (0 + i ((4k + 1) π / 2)): k ε Z}
(ya que arg i = π / 2 + 2kπ), Z – conjunto de enteros
= {exp (- (4k + 1) π / 2)}: k ε Z}

Por lo tanto, i ^ i no es solo un conjunto singleton, consiste en un no infinito. de valores.

En particular, para k = 0

i ^ i = exp (-π / 2)

es decir, exp (-π / 2) es un miembro del conjunto [i ^ i].

Como la pregunta es sobre [matemática] i ^ i [/ matemática], asumiremos que todo lo relacionado con la forma polar / Euler de número complejo, etc., es conocido por usted.

La respuesta más simple a esto proviene de usar el formulario de Euler como se indica a continuación

[matemáticas] z = r (cos \ theta + isin \ theta) = re ^ i \ theta, [/ matemáticas] donde [matemáticas] r = | z | [/ math] y [math] \ theta = arg (z) [/ math]

Ahora, sabemos [matemáticas] | i | = 1, argi = \ frac {\ pi} {2} [/ math] y así, [math] i = e ^ i \ pi / 2 [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] i ^ i = [e ^ i \ pi / 2] ^ i = e ^ – \ pi / 2, [/ matemáticas] que es aproximadamente 0.20787 …

Así que sorpresa, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es, después de todo, un número real! Por supuesto, debemos decir que hemos considerado aquí, solo el argumento principal del número complejo [math] i [/ math], y no todos los argumentos posibles (número infinito de) y, por lo tanto, este valor será solo uno de los muchos valores de [matemáticas] i ^ i. [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] i ^ i = {e ^ – \ pi / 2, e ^ 3 \ pi / 2, e ^ 7 \ pi / 2… ..} [/ matemáticas]

También podemos probar lo mismo usando el logaritmo de números complejos también.

Hablando técnicamente, cualquier número con un exponencial complejo es multivalor. Sin embargo, solo escribimos el valor principal la mayor parte del tiempo. En cuyo caso, desde

[matemáticas] i = i \ sin \ frac {\ pi} {2} + \ cos \ frac {\ pi} {2} = e ^ {\ frac {\ pi} {2} i} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] i ^ i = e ^ {\ frac {\ pi} {2} i \ times i} = e ^ {- \ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Pero, hay una razón por la que llamamos a esto el valor principal.

También podríamos interpretar esto como

[matemáticas] i = i \ sin \ frac {5 \ pi} {2} + \ cos \ frac {5 \ pi} {2} = e ^ {\ frac {5 \ pi} {2} i} [/ matemáticas ]

Entonces tenemos

[matemáticas] i ^ i = e ^ {\ frac {5 \ pi} {2} i \ times i} = e ^ {- \ frac {5 \ pi} {2}} [/ matemáticas]

Entonces [math] i ^ i [/ math] no toma un valor; toma muchos valores, todos reales. Y el valor principal entre esto es [matemáticas] e ^ {- \ frac {\ pi} {2}}. [/matemáticas]

Voy con el valor principal del logaritmo complejo, por lo que la exponenciación tiene un solo valor.

[matemáticas] \ displaystyle i ^ i = e ^ {- \ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Sí, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es real. Pero no te emociones demasiado. Así es [matemáticas] 1 ^ i [/ matemáticas], [matemáticas] (- 1) ^ i [/ matemáticas] y [matemáticas] \ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3 }} {2} i \ right) ^ {3.141507i} [/ math].

De hecho, [math] a ^ {bi} [/ math] siempre es real para cualquier número complejo [math] a [/ math] en el círculo unitario y cualquier número real [math] b [/ math].

[matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es solo un caso especial donde [matemáticas] a = i [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas].

Por la fórmula de Euler, sabemos que

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i sin (\ theta) [/ matemáticas]

if [math] \ theta = \ frac {\ pi} {2} [/ math] entonces

[matemáticas] e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = cos (\ frac {\ pi} {2}) + i sin (\ frac {\ pi} {2}) = i [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] {e ^ {i \ frac {\ pi} {2}}} ^ i = i ^ i [/ matemáticas]

así

[matemáticas] i ^ i = e ^ {- \ frac {\ pi} {2}} = 0.20788 [/ matemáticas]

En realidad, este es uno de los muchos valores posibles para [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas], porque, por ejemplo, [matemáticas] e ^ {5 i \ frac {\ pi} {2}} = i [/ matemáticas] . En un análisis complejo, uno aprende que la exponenciación con respecto a i es una función de valores múltiples.

Podemos usar la infame ecuación de Euler, es decir

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]

Si dejamos que [math] x = \ frac {\ pi} {2} [/ math], entonces vemos que el lado derecho se convierte en solo [math] i [/ math]. Esto hace que el lado izquierdo [matemática] {\ displaystyle e ^ \ frac {i \ pi} {2}} [/ matemática].

Si elevamos cada lado a la potencia [matemáticas] i [/ matemáticas], entonces el lado derecho se convierte en [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] y el lado izquierdo se convierte en [matemáticas] {\ displaystyle {e ^ \ frac {i \ pi} {2}} ^ i = e ^ \ frac {- \ pi} {2}} [/ math].

Pero en realidad, vemos que esto es válido para cualquier valor que esté [math] 2n \ pi [/ math] lejos de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math], por lo que la respuesta real es [math ] {\ displaystyle e ^ \ frac {- \ pi + 4n \ pi} {2}}. [/ math]

Curiosamente, esto significa que [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] tiene infinitos valores únicos.

Me gusta pensar en números complejos en términos de la fórmula de Euler.

[matemáticas] i ^ i = [e ^ {(\ pi / 2) i}] ^ i = e ^ {- (\ pi / 2)} = 0.208 [/ matemáticas]

… a tres decimales

De la fórmula de Euler, sabemos que e ^ (ix) = Cosx + iSinx

Sustituyendo x = π / 2, obtenemos e ^ (iπ / 2) = i

Ahora, tomar el poder i en ambos lados nos da e ^ (i.iπ / 2) = i ^ i.

Por lo tanto, i ^ i es igual a e ^ (- π / 2) que se redondea a 0,208.
Nota : Dado que el período de Sinx y Cosx es 2π, i ^ i puede tener muchos valores.
Espero que esto responda a su pregunta.