En matemáticas, el logaritmo de un número es el exponente a la que se debe elevar otro valor fijo, la base , para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 a la base 10 es 3, porque 10 a la potencia 3 es 1000 (como 1000 = 10 × 10 × 10 = 103). Más precisamente, para dos números reales positivos b y x, donde b no es igual a 1, el logaritmo de x a la base b , denotado log b ( x ), es el número real único y tal que
por = x .
Por ejemplo, como 64 = 43, tenemos
log4 (64) = 3
El logaritmo a base 10 (es decir, b = 10) se llama logaritmo común y tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene el número e (≈ 2.718) como base; Su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a su derivada más simple. El logaritmo binario usa la base 2 (es decir, b = 2) y se usa comúnmente en informática.
Las escalas logarítmicas reducen grandes cantidades a ámbitos más pequeños. Por ejemplo, el decibel es una unidad que cuantifica las relaciones logarítmicas de potencia de la señal y las relaciones logarítmicas de amplitud (de las cuales la presión del sonido es un ejemplo común).
En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa.
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Los logaritmos son comunes en las fórmulas científicas y en las mediciones de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales . Describen intervalos musicales, aparecen en fórmulas que cuentan números primos, informan a algunos modelos de psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense.
De la misma manera que el logaritmo invierte la exponenciación, el logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial aplicada a números complejos. El logaritmo discreto es otra variante; Tiene usos en criptografía de clave pública.
La fuerza de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida en el terremoto.
Los logaritmos ocurren en varias leyes que describen la percepción humana. La ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que toman los individuos para elegir una alternativa y la cantidad de opciones que tienen. La ley de Fitts predice que el tiempo requerido para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la distancia y el tamaño del objetivo. En psicofísica, la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre estímulo y sensación, como el peso real versus el peso percibido de un artículo que una persona lleva.
Los exponentes de Lyapunov usan logaritmos para medir el grado de caoticidad de un sistema dinámico. Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales dan como resultado caminos muy diferentes de la partícula.
