Sea [math] f (t) = \ cos ^ 3 (2t) [/ math].
Queremos manipular esto un poco y volver a escribirlo en algo más simple.
Usando la identidad [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) = \ frac {1 + \ cos (2x)} {2} [/ matemáticas],
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se deduce que [math] \ cos ^ 3 (x) = \ frac {1 + \ cos (2x)} {2} \ cdot \ cos (x) [/ math].
En nuestro caso, [math] x = 2t [/ math], por lo que podemos reescribir nuestra función como:
[matemáticas] f (t) = \ frac {1 + \ cos (4t)} {2} \ cdot \ cos (2t) \ Rightarrow [/ math]
[math] \ Rightarrow f (t) = \ frac {\ cos (2t)} {2} + \ frac {\ cos (4t) \ cos (2t)} {2} [/ math]
Ahora, usando la identidad: [matemáticas] \ cos (a) \ cdot \ cos (b) = \ frac {1} {2} \ left (\ cos (a – b) + \ cos (a + b) \ right ) [/ math], donde [math] a = 4t [/ math] y [math] b = 2t [/ math], obtenemos:
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ cos (4t) \ cdot \ cos (2t) = \ frac {1} {4} (\ cos (2t) + \ cos (6t)) = \ frac {\ cos (2t)} {4} + \ frac {\ cos (6t)} {4} [/ matemáticas]
Entonces, para resumir, nuestra función es ahora:
[matemáticas] f (t) = \ frac {\ cos (2t)} {2} + \ frac {\ cos (2t)} {4} + \ frac {\ cos (6t)} {4} \ Rightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] \ boxed {f (t) = \ frac {3} {4} \ cos (2t) + \ frac {1} {4} \ cos (6t)} [/ math]
Ahora, recuerda la transformación de Laplace:
Dada una función [matemática] f (t) = \ cos (kt) [/ matemática], entonces su transformada de Laplace es:
[matemáticas] \ boxed {\ mathscr {L} \ left (f (t) \ right) = F (s) = \ frac {s} {s ^ 2 + k ^ 2}} [/ math]
En nuestro caso, tenemos:
[math] \ mathscr {L} \ left (f (t) \ right) = \ mathscr {L} \ left (\ cos ^ 3 (2t) \ right) = \ mathscr {L} \ left (\ frac {3 } {4} \ cos (2t) + \ frac {1} {4} \ cos (6t) \ right) \ Rightarrow [/ math]
[math] \ Rightarrow F (s) = \ frac {3} {4} \ mathscr {L} \ left (\ cos (2t) \ right) + \ frac {1} {4} \ mathscr {L} \ left (\ cos (6t) \ right) \ Rightarrow [/ math]
Ahora calcule la transformación de Laplace de cada término de forma independiente:
[math] \ mathscr {L} (\ cos (2t)) = \ frac {s} {s ^ 2 + 4} \ Rightarrow [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ frac {3} {4} \ mathscr {L} (\ cos (2t)) = \ frac {3} {4} \ frac {s} {s ^ 2 + 4} [/ math]
y
[math] \ mathscr {L} (\ cos (6t)) = \ frac {s} {s ^ 2 + 36} \ Rightarrow [/ math]
[math] \ Rightarrow \ frac {1} {4} \ mathscr {L} (\ cos (6t)) = \ frac {1} {4} \ frac {s} {s ^ 2 + 36} [/ math]
Lo que nos da:
[math] \ mathscr {L} \ left (f (t) \ right) = \ frac {3} {4} \ mathscr {L} \ left (\ cos (2t) \ right) + \ frac {1} { 4} \ mathscr {L} \ left (\ cos (6t) \ right) \ Rightarrow [/ math]
[matemáticas] \ mathscr {L} \ left (f (t) \ right) = \ frac {3} {4} \ frac {s} {s ^ 2 + 4} + \ frac {1} {4} \ frac {s} {s ^ 2 + 36} \ Rightarrow [/ math]
[math] \ Rightarrow \ boxed {\ mathscr {L} \ left (f (t) \ right) = \ frac {3s} {4 (s ^ 2 + 4)} + \ frac {s} {4 (s ^ 2 + 36)}} [/ matemáticas]
Cual es la respuesta final.
