Las álgebras de Hopf se usan para muchos propósitos diferentes en matemáticas: debes pensar que son generalizaciones de grupos, por lo que no es sorprendente que aparezcan en todas partes porque los grupos aparecen en todas partes.
Para empezar, hay dos sabores de álgebras de Hopf construidas a partir de grupos, uno de los cuales se obtiene tomando álgebras de grupo [math] \ mathbb {C} [G] [/ math] en un sentido adecuado y otro sabor es dado tomando la función álgebras [matemáticas] C (G) [/ matemáticas] en un sentido adecuado. El primer tipo de álgebra de Hopf es co-conmutativo, mientras que el segundo tipo es conmutativo. Estas álgebras de Hopf se usan, por ejemplo, en la teoría de la representación. Pensar en las álgebras funcionales con la suficiente intensidad conduce a la noción de un esquema de grupo afín, que es precisamente un álgebra conmutativa de Hopf. Estos generalizan grupos algebraicos afines y son muy importantes en la geometría algebraica.
Una variación de esta construcción toma como entrada un álgebra de Lie [math] \ mathfrak {g} [/ math] en lugar de un grupo, y devuelve como salida su álgebra envolvente universal [math] U (\ mathfrak {g}) [/ math ] De hecho, esta construcción da una equivalencia de categorías entre las álgebras de Lie y una cierta categoría de álgebras de Hopf cocommutativas; en términos generales, esto se debe a que las álgebras de Hopf son lo suficientemente ricas como para capturar no solo grupos sino también “grupos infinitesimales” (es decir, álgebras de Lie). Esto está estrechamente relacionado con el estudio de grupos formales.
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Desde una perspectiva histórica, Hopf inventó álgebras de Hopf para estudiar la homología y la cohomología de los grupos de Lie . Si [math] G [/ math] es un grupo topológico, entonces (con coeficientes en un campo, por ejemplo) el mapa de multiplicación [math] m: G \ times G \ to G [/ math] induce un producto en homología [math ] H _ {\ bullet} (G) \ otimes H _ {\ bullet} (G) \ to H _ {\ bullet} (G) [/ math], el producto Pontryagin y, por lo general, un coproducto en cohomología [math] H ^ { \ bullet} (G) \ to H ^ {\ bullet} (G) \ otimes H ^ {\ bullet} (G) [/ math]. Estas estructuras adicionales hacen que la homología se convierta en un álgebra de Hopf co-conmutativa (graduada) y la cohomología en un álgebra de Hopf conmutativa (graduada). (Puede pensar en la homología como una variación de tomar álgebras grupales y la cohomología como una variación de tomar álgebras funcionales).
Las álgebras de Hopf que surgen de esta manera están muy restringidas: Hopf demostró que, en un campo, la cohomología de un grupo topológico conectado a la ruta con cohomología finitamente generada debe ser un álgebra exterior en generadores impares. Esto dio una explicación algebraica de Hopf de los cálculos que la gente había hecho antes sobre la cohomología de los grupos de Lie. Las variaciones de esta construcción dan muchos más ejemplos de álgebras de Hopf y cosas que se parecen a las álgebras de Hopf que son muy importantes en la topología algebraica.
Hoy en día hay al menos otras dos fuentes muy interesantes de álgebras de Hopf, una de las cuales proviene de la combinatoria y de la que sé muy poco (pero ver, por ejemplo, Página en umn.edu) y la otra de la geometría no conmutativa en La forma de los grupos cuánticos s , que en términos generales son deformaciones no conmutativas (en el sentido de la geometría no conmutativa) de los grupos de Lie y que actúan como “simetrías” de espacios no conmutativos.
Un aspecto fascinante de los grupos cuánticos es que, en general, no son conmutativos ni cocomutativos. Puedes pensar en un álgebra conmutativa de Hopf como precisamente un objeto grupal en la categoría de esquemas afines, y dualmente puedes pensar en un álgebra de Hopf cocomutativa como precisamente un objeto grupal en la categoría de coalgebras cocommutativas (que a su vez puedes pensar como una especie de categoría de “esquemas formales”), pero un álgebra de Hopf que no es conmutativa ni cocomutativa realmente no puede considerarse como un objeto grupal: es algo nuevo y más misterioso que, sin embargo, ha demostrado ser cada vez más interesante e importante en matemáticas . Los grupos cuánticos dan lugar a invariantes cuánticos de nudos y representaciones de grupos de trenzas, por ejemplo.