¿Qué es el constructivismo en la filosofía matemática?

A2A.

El enfoque constructivo de las matemáticas se desarrolló en respuesta a la crisis en la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas explotados a principios del siglo XX debido a la paradoja de Russell. Está estrechamente relacionado con el teorema de Cantor y el hecho de que ningún conjunto puede contenerse como elemento (es decir, que cada conjunto es normal en el sentido de Russell).

La esencia de la crisis fue, brevemente, lo siguiente: dado que no podemos tener un conjunto verdaderamente universal sino principios teóricos de conjunto (la teoría real de conjuntos aún no se desarrolló) de aquellos tiempos, sin embargo, nos permiten esto, era necesario reescribirlos en de tal manera que no permitan que surjan contradicciones.

Los constructivistas propusieron construir las matemáticas como una colección de pruebas constructivas (¡sorpresa!). Lo que es una prueba constructiva puede verse fácilmente a través de la interpretación de la lógica intuicionista llamada Brouwer – Heyting – Kolmogorov. De hecho, uno no puede construir un conjunto universal y otros objetos sospechosos, por lo que la respuesta no fue un fracaso en absoluto.

El enfoque en sí mismo parecía prometedor (pero no para Hilbert, que solía rechazar casi todos los documentos escritos por constructivistas), pero resultó ser bastante restrictivo y refutó muchos resultados de las llamadas matemáticas clásicas (en realidad, formalistas). Quine da un ejemplo en “Sobre lo que hay”: los intuicionistas (constructivistas “radicales”) rechazaron la jerarquía de infinitos de Cantor. De hecho, no había tal cosa para los constructivistas como el infinito “real” (solo uno “potencial”) porque uno no puede construir un conjunto realmente infinito. Otra reducción se debió al rechazo del axioma de elección (que claramente no es constructivo) y, por lo tanto, a sus numerosas implicaciones, a veces bastante útiles (para las matemáticas clásicas) y formulaciones equivalentes.

Todo esto condujo a todo el programa de matemáticas constructivas basado principalmente en la teoría de conjuntos constructivos y la aritmética constructiva como la aritmética de Heyting. De hecho, el constructivismo es bastante fructífero para un matemático de carrera, ya que uno siempre puede tratar de “constructivizar” alguna teoría matemática y formalizarla de manera constructiva.

Espero que ayude.

Los conceptos básicos están cubiertos en la respuesta del usuario de Quora a ¿Qué es el constructivismo en la filosofía matemática? Pensé en explicar que en las matemáticas constructivistas (o intuicionistas) la “ley del medio excluido” no es válida. Mostrar que lo negativo de una declaración no se cumple, no es lo mismo que mostrar que la declaración es verdadera.

Otra consecuencia es que los constructivistas tienen una visión matizada del infinito. Aceptan los enteros, pero “el conjunto de números reales” no es construible, por lo que no es un concepto que tenga sentido.

Espero que encuentres una respuesta mucho mejor en Wikipedia (Constructivismo (matemáticas)) o en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford (Matemáticas constructivas). Citaré de la primera:

En la filosofía de las matemáticas, el constructivismo afirma que es necesario encontrar (o “construir”) un objeto matemático para demostrar que existe. Cuando se supone que un objeto no existe y se deriva una contradicción de ese supuesto, todavía no se ha encontrado el objeto y, por lo tanto, no se ha demostrado su existencia, según el constructivismo. Este punto de vista implica una interpretación de verificación del cuantificador de existencia, que está en desacuerdo con su interpretación clásica.