La aritmética modular estudia la operación de módulo y la relación de equivalencia.
[math] a \ mod m [/ math] es una operación que significa “el resto cuando [math] a [/ math] se divide por [math] m [/ math]” (el resto se define como [math] [0; m) [/ matemáticas]).
Cuando se usa como una relación de equivalencia, la equivalencia de dos enteros a, b módulo m se define de la siguiente manera:
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[matemáticas] a \ equiv b \ pmod {m} \ iff m \ mid ab [/ matemáticas]
O podrías definirlo de esta manera:
[matemáticas] a \ equiv b \ pmod {m} [/ matemáticas] [matemáticas] \ iff a \ mod m = b \ mod m [/ matemáticas]
Es decir, a, b son módulos equivalentes m iff (abreviatura de If y solo si) dan los mismos restos cuando se dividen por m.
Primero lea sobre las reglas básicas de aritmética modular como las de sumar, restar, multiplicar, elevar a una potencia (puede hacer esto aquí – Aritmética modular – Una introducción – pero es un enlace arbitrario. Puede encontrar mucha información en Internet) .
La división es un poco más complicada. Lea sobre esto aquí – Inverso multiplicativo modular.
Aquí hay algunas cosas relacionadas sobre las que puede leer: el teorema de Wilson, el residuo cuadrático (en particular, la reciprocidad cuadrática), el módulo raíz primitivo, el teorema del resto chino, el teorema de Euler (y el pequeño teorema de Fermat del caso especial y un teorema de la función Carmichael un poco más fuerte) , Módulo raíz de unidad, Wilson prima, Wieferich prima, Wolstenholme prima, teorema de Wolstenholme, número de Carmichael.
El lema
[matemáticas] \ gcd (a ^ n-1, a ^ m-1) = a ^ {\ gcd (n, m)} – 1 [/ matemáticas]
puede usar aritmética modular en su prueba (junto con la identidad de Bézout) (hay una prueba, por ejemplo, aquí: demuestre que para a≥2, GCD (a ^ m -1, a ^ n -1) = a ^ (GCD (m , n)) – 1? o Demuestre que $ \ gcd (a ^ n – 1, a ^ m – 1) = a ^ {\ gcd (n, m)} – 1 $).
