¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 2 ^ {1992} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 92 [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} = \ frac {{{2} ^ {2}} \ times {{2} ^ {1990}}} {{{2} ^ {2}} \ veces 23} [/ matemáticas]

Como [math] {{2} ^ {2}} [/ math] es común en ambos, lo separaremos

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) R \ frac {{{2} ^ {1990}}} {23} [/ matemáticas]

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) R \ frac {{{2} ^ {1980}} \ veces {{2} ^ {10}}} {23} [/ matemáticas]

[matemática] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) R \ left [\ frac {{ {2} ^ {1980}}} {1} \ times \ frac {{{2} ^ {10}}} {23} \ right] [/ math]

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) \ left [R \ left (\ frac {{{2} ^ {1980}}} {1} \ right) + R \ left (\ frac {{{2} ^ {10}}} {23} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) \ left [0 + R \ left (\ frac {{{2} ^ {10}}} {23} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) R \ left (\ frac {{ {2} ^ {10}}} {23} \ right) [/ math]

[matemáticas] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) R \ left (\ frac {1024 } {23} \ right) [/ math]

Ahora, usando la división larga, dividiremos [matemática] 1024 [/ matemática] por [matemática] 23 [/ matemática]

El resultado resulta ser 12. Por lo tanto, [matemáticas] R \ left (\ frac {1024} {23} \ right) = 12. [/ math] Pondremos este 12 en nuestra expresión de resto original:

[matemática] R \ left (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ right) = \ left ({{2} ^ {2}} \ right) \ times 12 [/ math]

[matemática] R \ izquierda (\ frac {{{2} ^ {1992}}} {92} \ derecha) = 48 [/ matemática]

Cuando tenga preguntas como esta, convierta las potencias en un número más cercano a un múltiplo 92. 2 ^ 11 es 2048 y 2048 se puede escribir como 2024 + 24. 2024 es un múltiplo de 92.

2 ^ 1992 se puede convertir como ((2 ^ 11) ^ 181) * 2. Esto se puede escribir más adelante como

2 * (2024 + 24) ^ 181. En la expansión binomial, todos los números que son múltiplos de 2024 serán divisibles por 92 y no obtendrán ningún resto. Eliminando todos los múltiplos de 2024 tendremos que averiguar el resto cuando
2 * 24 ^ 181 se divide por 92. 24 ^ 2 es 576 que se puede escribir como 552 + 24. 552 es divisible por 92.
2 * 24 ^ 181 se puede escribir como 2 * ((24 ^ 2) ^ 90) * 24 que se puede escribir como
2 * 24 * (552 + 24) ^ 90. Eliminando todos los múltiplos de 552 tendremos
2 * 24 * (24 ^ 90) que puede escribirse además como 2 * 24 * (24 ^ 2) ^ 45. Repitiendo el proceso anterior de eliminar 552 tendremos 2 * 24 * 24 ^ 45 = 2 * 24 ^ 46.
Continuando el proceso de eliminación tendremos 2 * 24 ^ 23
Además se convertirá en 2 * 24 * (24 ^ 2) ^ 11 Eliminando múltiplos de 552 tendremos
2 * 24 * 24 ^ 11 = 2 * 24 ^ 12 = 2 * (24 ^ 2) ^ 6. Eliminando múltiplos de 552 tendremos
2 * 24 ^ 6 = 2 * (24 ^ 2) ^ 3. Eliminando múltiplos de 552 tendremos 2 * 24 ^ 3 = 2 * 24 * 24 ^ 2
Eliminando múltiplos de 552 tendremos 2 * 24 * 24. Una vez más eliminando los múltiplos de 552 tendremos 2 * 24. = 48.
Cuando dividimos 48 por 92 tendremos un resto de 48. La respuesta a la pregunta es 48