“Genérico” es una palabra divertida en geometría algebraica. Para definir “curvas algebraicas genéricas” debemos comenzar definiendo puntos genéricos. Asumiré que estás familiarizado con esquemas o variedades. (Si no, avíseme y puedo ampliar un poco).
El “punto genérico” tiene dos definiciones comunes. Para distinguir entre los dos, esto es terrible, pero estándar, llamaré un punto genérico en el primer sentido un “punto general” y un punto genérico en el segundo sentido un “punto genérico”.
Deje que [math] X [/ math] sea un esquema o una variedad (con la que esté más familiarizado). Cuando decimos “[matemática] P [/ matemática] se cumple para un punto general de [matemática] X [/ matemática]” queremos decir que hay un subconjunto abierto denso [matemática] U [/ matemática] de [matemática] X [ / math] tal que [math] P [/ math] se cumple para todos los puntos de [math] U [/ math]. Pensando en la topología de Zariski, esto significa que en cada componente irreducible de [math] X [/ math] hay un sistema de ecuaciones cuyo conjunto de soluciones contiene todos los puntos donde [math] P [/ math] no se cumple. Dichos conjuntos de soluciones tienen necesariamente una dimensión mínima de al menos 1, por lo que son “pequeños” en relación con el espacio [math] X [/ math]. De manera intuitiva, una declaración sobre un punto general es una declaración sobre “la mayoría” de los puntos.
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Un artefacto de este lenguaje es que realmente no tiene sentido hablar de un punto general, excepto con respecto a alguna propiedad. No puede preguntar si [math] 2 [/ math] es un punto general dentro de [math] \ mathbb {C} [/ math]. A veces, verá argumentos que comienzan diciendo “deje que bla sea un punto genérico” y luego continúe discutiendo con este punto. Esto significa que el argumento pasará excepto en un subconjunto cerrado de excepciones.
Por ejemplo, podemos identificar el conjunto de matrices de 2 por 2 con entradas complejas como la variedad [math] X = \ mathbb {C} ^ 4 [/ math] tomando las cuatro coordenadas como los cuatro componentes de una matriz. El punto general de este espacio es una matriz no singular. ¿Por qué? Porque una matriz [math] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ math] es singular si y solo si su determinante [math] ad – bc [/ math] desaparece. Por lo tanto, no ser no singular se define por un subconjunto cerrado . Tomando complementos, el conjunto de matrices no singulares de 2 por 2 es un subconjunto abierto y denso.
Es importante notar que la noción de punto general es relativa a un espacio en particular. Por ejemplo, [matemática] X [/ matemática] contiene una subvariedad [matemática] Y [/ matemática] que consiste en todas las matrices de la forma [matemática] \ begin {bmatrix} a & b \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} [/matemáticas]. El punto general de [matemáticas] Y [/ matemáticas] es una matriz singular; de hecho, cada punto de [matemáticas] Y [/ matemáticas] es una matriz singular, aunque el punto general de [matemáticas] X [/ matemáticas] No es singular.
Con respecto a esta definición, una “curva algebraica genérica” sería un punto general de una variedad cuyos puntos representan curvas algebraicas. Un ejemplo común de tal variedad es la colección de curvas planas de grado [matemática] d [/ matemática], que pueden identificarse con [matemática] \ mathbb {P} ^ {\ binom {d + 2} {2} – 1 }[/matemáticas]. La variedad de curvas que se usa generalmente está implícita.
La otra noción de “punto genérico” es la de un punto genérico de un esquema. Si está familiarizado con los esquemas, es muy probable que esta sea una idea que ya haya visto. Si no está familiarizado con los esquemas, entonces tenemos algo que cubrir, ¡pero haré todo lo posible!
Recuerde que un subconjunto [matemática] I [/ matemática] de un anillo [matemática] A [/ matemática] es ideal si:
- Para cada par de elementos [matemática] i, j \ en I [/ matemática], su suma [matemática] i + j [/ matemática] también está en [matemática] I [/ matemática]. ([matemática] I [/ matemática] está “cerrada por sumas”)
- Para cada elemento [matemática] i [/ matemática] de [matemática] I [/ matemática] y elemento [matemática] r [/ matemática] de [matemática] A [/ matemática], [matemática] ri [/ matemática] está en [matemáticas] I [/ matemáticas]. ([matemáticas] I [/ matemáticas] “absorbe productos”)
Un ideal [matemático] I [/ matemático] es primo si, para todos [matemático] a, b \ en A [/ matemático], [matemático] ab \ en I [/ matemático] implica que [matemático] a \ en I [/ math] o [math] b \ en I [/ math]. Un ideal [matemático] I [/ matemático] es máximo si [matemático] I \ neq A [/ matemático] y para cualquier ideal [matemático] J [/ matemático] con [matemático] I \ subseteq J \ neq A [/ matemático ], [matemáticas] I = J [/ matemáticas]. Todos los ideales máximos son primos, pero no todos los ideales primos son máximos.
Los esquemas son uniones de espacios topológicos [math] \ mathrm {Spec} (A) [/ math], donde [math] A [/ math] es un anillo conmutativo con unidad, y [math] \ mathrm {Spec} (A) [/ math] significa el conjunto de ideales primarios de [math] A [/ math]. En particular, cada punto de un esquema es un ideal primordial de algún anillo. Los que resultan ser ideales máximos se llaman puntos cerrados . Los puntos que no son puntos cerrados se denominan puntos genéricos . Por ejemplo, en [math] \ mathrm {Spec} (\ C [x]) [/ math], el ideal [math] (x) [/ math] es un punto cerrado, mientras que [math] (0) [/ matemáticas] es un punto genérico.
Hay una manera de hacer coincidir las variedades con los esquemas correspondientes. Según esta correspondencia, los puntos cerrados son puntos de la variedad original, mientras que los puntos genéricos son puntos nuevos. Tienden a comportarse como los “puntos generales” que discutimos anteriormente (de ahí la terminología confusa), pero tienen el beneficio de ser realmente puntos. No tenía sentido preguntar si 2 era un punto general en [math] \ mathbb {C} [/ math], pero tiene sentido preguntar si “2” es un punto genérico en la versión del esquema de [math ] \ mathbb {C} [/ math]. (No lo es)
Con respecto a esta definición, una curva genérica sería un punto genérico de un esquema cuyos puntos parametrizan curvas. No tengo espacio para hacer esto riguroso, pero podría pensar en una curva tan genérica como una curva definida por una ecuación en la que algunos de los números se han dejado indeterminados: [matemática] ax + por + cz = 0 [/ matemáticas] define una curva plana genérica de grado 1; [matemática] 5x + 2y – 3z = 0 [/ matemática] es una curva plana particular de grado 1.
