De hecho, la serie armónica es solo el comienzo de una familia infinita de series que divergen cada vez más lentamente:
[math] \ sum_ {n \ ge 1} \ frac {1} {n} [/ math] diverge como [math] \ ln n [/ math],
[math] \ sum_ {n \ ge e ^ 1} \ frac {1} {n \ ln n} [/ math] diverge como [math] \ ln \ ln n [/ math],
[math] \ sum_ {n \ ge e ^ {e ^ 1}} \ frac {1} {n \ ln n \ ln \ ln n} [/ math] diverge como [math] \ ln \ ln \ ln n [ /matemáticas],
[matemáticas] \ sum_ {n \ ge e ^ {e ^ {e ^ 1}}} \ frac {1} {n \ ln n \ ln \ ln n \ ln \ ln \ ln n} [/ matemáticas] diverge como [matemáticas] \ ln \ ln \ ln \ ln n [/ matemáticas],
…
En cada caso, perturbando ligeramente la serie reemplazando las [matemáticas] \ ln \ ln \ ldots \ ln n [/ math] en el denominador con [math] (\ ln \ ln \ ldots \ ln n) ^ {1 + \ epsilon} [/ math] para cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math] es suficiente para que converja. En ese sentido, esta familia demuestra dónde se encuentra el límite entre series divergentes y convergentes.
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La prueba es una aplicación simple de la prueba integral.
