Bueno, lo obvio obviamente.
Uno tiene un número finito de dimensiones y el otro no.
La principal diferencia está en cuál es exactamente la base y qué hace.
En un espacio vectorial dimensional finito, cualquier vector en el espacio es exactamente una combinación lineal (finita) de sus vectores base.
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En el caso de dimensiones infinitas, te encuentras con una serie de problemas y los problemas exactos dependen del tipo de espacio que estés considerando.
Para todos los espacios de Banach (que incluyen todos los espacios de Hilbert) la integridad de los espacios implica que la base definida para el caso de dimensión finita (la base de Hamel) debería ser no solo infinita sino incontable.
Para un espacio de Hilbert, puede construir una base ortonormal, y luego el tramo lineal de este conjunto de bases es denso en el espacio. Entonces, técnicamente, es posible que no pueda generar todos los vectores en el espacio, pero puede acercarse lo suficiente.
Son posibles otras generalizaciones según el espacio y el nivel de generalidad … espacios de vectores topológicos localmente convexos, por ejemplo.
