Desde que Emmy Noether lo mostró en 1915, hemos sabido que las simetrías y las cantidades conservadas están fundamentalmente vinculadas. Una vez que podemos alcanzar uno, podemos llegar al otro.
Formalmente, lo que ella hizo fue mostrar que para cualquier sistema describible por un lagrangiano (es decir, sin fuerzas disipativas), cualquier simetría diferenciable de las leyes tiene una cantidad asociada que se conserva en el tiempo.
Y sería un mundo extraño en el que no habría al menos algunas simetrías diferenciables como alimento para el teorema de Noether. Por ejemplo, sería un mundo extraño si las leyes de la física cambiaran de un lugar a otro. O si variaban con el tiempo, si las leyes estuvieran aquí un día y desaparecieran al día siguiente. Tales mundos son imaginables (justos) pero no parece que vivamos en uno.
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Expongamos algunas simetrías de leyes físicas, con las cantidades conservadas que obtienes cuando las empujas a través del teorema de Noether:
A la física no le importa a qué hora haces tus experimentos [matemáticas] \ rightarrow [/ matemáticas] Conservación de la energía
A la física no le importa en qué posición has configurado tus experimentos en [matemáticas] \ rightarrow [/ matemáticas] Conservación del momento
A la física no le importa en qué ángulo hayas establecido tus experimentos en [matemáticas] \ rightarrow [/ matemáticas] Conservación del momento angular
Los libros de texto generalmente le muestran la mecánica de cómo funcionan todos estos (en diferentes niveles de rigor) y luego … se detienen.
Cuando estaba estudiando esto, entonces, en lugar de maravillarme con la extraordinaria profundidad del teorema, como debería haber estado haciendo, me pareció terriblemente molesto. Tenía dos preguntas y nadie las respondía:
- ¿De dónde vienen entonces todas esas leyes de conservación discretas? Conservación de la carga, por ejemplo.
- Habíamos pasado años cubriendo las simetrías de las leyes bajo las transformaciones de Galilea y Lorentz. ¿A qué cantidades conservadas dio lugar la invariancia bajo estos aumentos?
Había una buena razón para no cubrir la primera. Resulta que tienes que llegar a la teoría de campo cuántico antes de que una versión terriblemente desagradable del teorema de Noether pueda vincularse con la conservación de la carga. Y todo eso es muy sutil y difícil. Así que tenían razón al murmurar y decirme que el teorema solo abarcaba simetrías diferenciables, y no preocuparse (todavía) por las discretas como la carga.
Pero mi segunda pregunta se sintió realmente simple, y la gente simplemente me dijo que lo resolviera por mí mismo. Tenían un brillo malvado en sus ojos también. Tuve la sensación de que esta era una pregunta común para volver a los estudiantes universitarios.
Resulta que cuando empujas la invariancia galileana a través del teorema de Noether obtienes algo que se puede parafrasear más o menos como la conservación del momento del centro de masa . Y cuando empujas la invariancia de Lorentz, obtienes la versión relativista de la misma. A primera vista, parece que acabas de recuperar el impulso de nuevo, pero en una inspección más cercana resulta ser un poco más fuerte (solo invente un sistema sometido a fuerzas que respeten la invariancia traslacional pero no galileana: el impulso total se conservará, pero el impulso del centro de masa no lo será, y el el sistema en su conjunto no viajará a una velocidad constante). Esta similitud cercana, pero no del todo igual, me confundió por un tiempo y solo puedo suponer que no está cubierto en la mayoría de los libros de texto porque confundiría a todos los demás también.
Volvamos a la pregunta: ¿por qué necesitamos cantidades conservadas en física y cómo las alcanzamos? Parece que ambos necesitamos y alcanzamos leyes de conservación en física porque están vinculadas con simetrías de las leyes de la física.
Entonces, ¿por qué las leyes en física tienen tales simetrías, por qué las cosas no son diferentes dependiendo del momento y el lugar en el que se miden? Bueno, podría decir que dudaría en llamar a esas cosas leyes. Este parece ser mi derecho, pero parece muy posible que pueda haber un mundo sin nada que esté dispuesto a llamar leyes. ¿Por qué nos encontramos en un mundo con leyes físicas en absoluto …?
… finalmente hemos caído en el extremo profundo. Las respuestas variarán. Señalo a Immanuel Kant, tratando de ignorar esa voz molesta que dice que solo encuentro su solución convincente porque realmente no la entiendo …