¿Cuál es la divergencia de un campo vectorial?

La divergencia de la calidad del vector indica cuánto se extiende la calidad del vector desde cierto punto (es una medida de cuánto se une o se separa un campo). Piense en el agua que proviene de un grifo.

Imagine un fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido en cada punto del espacio. La divergencia mide el flujo neto de fluido fuera (es decir, divergiendo de) un punto dado. Si el fluido fluye hacia ese punto, la divergencia será negativa.

Un punto o región con divergencia positiva a menudo se conoce como una “fuente” (de fluido, o lo que sea que describa el campo), mientras que un punto o región con divergencia negativa es un “sumidero”. Cuando la divergencia es cero, la cantidad que “fluye” debe ser igual a la cantidad que fluye

La divergencia de un campo vectorial es relativamente fácil de entender intuitivamente. Imagine que el campo vectorial

F [matemática] F [/ matemática] que se muestra a continuación da la velocidad de algún flujo de fluido. Parece que el fluido está explotando desde el origen.

Esta expansión del fluido que fluye con el campo de velocidad

F [matemáticas] F [/ matemáticas] es capturado por la divergencia de

F [matemáticas] F [/ matemáticas], que denotamos

divF [matemáticas] div⁡F [/ matemáticas]. La divergencia del campo vectorial anterior es positiva ya que el flujo se está expandiendo.

Por el contrario, el siguiente campo vectorial representa el fluido que fluye de modo que se comprime a medida que avanza hacia el origen. Dado que esta compresión del fluido es lo opuesto a la expansión, la divergencia de este campo vectorial es negativa.

La divergencia se define para ambos campos vectoriales bidimensionales

F (x, y) [matemática] F (x, y) [/ matemática] y campos vectoriales tridimensionales

F (x, y, z) [matemática] F (x, y, z) [/ matemática]. Un campo vectorial tridimensional

F [matemática] F [/ matemática] que muestra la expansión del flujo de fluido se muestra en el siguiente applet. Nuevamente, debido a la expansión, podemos concluir que

divF (x, y)> 0 [matemática] div⁡F (x, y)> 0 [/ matemática].

Espero que esto te ayude

Wikipedia (Divergencia) muestra esta expresión para la divergencia:

La divergencia opera en un campo vectorial (F) y produce una cantidad escalar que es una medida de cuánto divergen los vectores. En dinámica de fluidos, se aplica comúnmente al campo de velocidad. Si observa algunos puntos cercanos en un flujo y los vectores de velocidad se están separando, entonces estos vectores son divergentes. La sustancia se está separando a medida que fluye. Esto puede suceder si el fluido se está volviendo menos denso porque la presión está disminuyendo o porque se agrega calor a medida que fluye. Suponga que toma una cámara y sigue el flujo principal promedio, luego, en la región con divergencia, los puntos en el fluido simplemente se separarán radialmente uno del otro. Ellos divergirán. Seguir junto con la cámara es lo mismo que restar una velocidad constante de todos los puntos. La divergencia de (V menos V_constante) es exactamente la misma que la divergencia de V. Esto se debe a que las derivadas de una constante son cero. Pero en esta situación, simplemente puede ver los puntos en el fluido separándose. Es decir, están divergiendo. Básicamente, esta interpretación física es la razón por la cual este operador se llama divergencia en primer lugar.

Dado un campo vectorial V que asigna un vector a cada punto de R3

P = (xyz)

V (P) = (f (xyz), g (xyz), h (xyz))

El div de V es un miembro de R3 dado por
Div (V) = pdx (f) + pdy (g) + pdz (h)

Con pdx (f) = derivada parcial de f con respecto a x

En una oración, diría que es el total / total / neto que fluye hacia adentro y hacia afuera en una superficie cerrada (lo suficientemente pequeño sería un punto).

Entonces, si la divergencia no es cero en un punto, ¡significa que el punto es un sumidero o una fuente! (donde el flujo se origina o se hunde).

Esto es bastante intuitivo si ves su ecuación para R ^ 3:

Está agregando el cambio total en el flujo wrt al campo F sobre todas las coordenadas / direcciones principales.

Aquí hay una explicación realmente no matemática.

Imagine un flujo de fluido (como el viento o un río, una tubería) donde el fluido es prácticamente incompresible (que es casi todos los flujos con los que estamos familiarizados, a menos que hable de gradientes de presión muy alta o flujos de 2 fases). El div del campo del vector de velocidad representa la cantidad de materia que aparece de la nada, simplemente surgiendo como magia. Por supuesto, en un flujo de fluido, el campo del vector de velocidad puede ir a izquierda y derecha, girando con vórtices y tornados, pero una cosa que no puede suceder es que la materia no puede aparecer de la nada y tampoco puede desaparecer en la nada , por lo que en cualquier flujo de fluido incompresible, el div del campo del vector de velocidad es siempre cero. Principios similares se aplican a los campos magnéticos y los campos eléctricos en el espacio vacío, ya que su div también es cero.

Primero debe comprender qué es un campo vectorial . Ya sabes lo que es un campo escalar : es algo que tiene un valor diferente en diferentes ubicaciones. Un buen ejemplo de esto es la temperatura. Cualquier punto dado en el espacio tiene una temperatura bien definida, pero ese valor varía a medida que te mueves a diferentes puntos.

La diferencia entre un campo escalar y un campo vectorial es muy similar a la diferencia entre un escalar y un vector: un escalar tiene un valor; Un vector tiene un valor y una dirección. Del mismo modo, en cada punto de un campo vectorial, el campo tiene un valor y una dirección.

Solo nos ocuparemos de un tipo particular de campo vectorial, conocido como el gradiente . Ya sabes lo que es un derivado en el cálculo, ¿verdad? El gradiente es, una vez más, la versión vectorial de una derivada. En lugar de tener un solo valor, tiene un valor y una dirección. (O, si expresamos nuestro vector en coordenadas cartesianas, un valor para cada elemento de coordenadas del vector).

Piense en la topografía de una cordillera. En cada ubicación, el suelo tiene una elevación, una cantidad escalar. Entonces, la elevación del rango, en general, es un campo escalar.

Cada punto en el suelo también tiene una pendiente. La pendiente tiene una magnitud (cuán empinada es en ese punto) y una dirección (en qué dirección apunta más directamente “hacia arriba” desde ese punto), por lo que es un vector. Como resultado, esta es la definición del gradiente: la derivada de un campo escalar. Y así como cada punto en la montaña puede tener una pendiente diferente, cada punto en el gradiente puede tener un valor vectorial diferente.

¡Bueno! Entonces, ahora sabemos qué es un campo vectorial y cómo podemos generar un campo vectorial tomando la derivada vectorial de un campo escalar. El rizo y la divergencia son dos formas diferentes de tomar la derivada de un campo vectorial, lo que significa que son como tomar la segunda derivada de un campo escalar.

De los dos, la divergencia es más simple: realmente es como tomar la segunda derivada del campo escalar, luego resumir todos los componentes, lo que significa que terminas con un escalar una vez más. Numéricamente, le da un valor al “flujo” neto del campo escalar original. Imagina que estás en la cima de una montaña, sosteniendo un vaso de agua. Todas las direcciones están hacia abajo, por lo que si vierte el agua, no importa en qué dirección mire cuando vierte, el agua fluirá lejos de usted; estás en una región de alta divergencia negativa. Ahora imagine hacer lo mismo mientras está parado en una depresión; Esta vez, el agua fluye hacia ti, por lo que estás en una región de alta divergencia positiva. En otras partes, como en una pendiente, parte del agua fluye hacia ti, otra parte y otra no se mueve en absoluto. Esta es una región de divergencia intermedia (y posiblemente cero).

Ahora veamos el rizo. Curl es un poco más complicado, y realmente solo funciona (matemáticamente hablando) en tres dimensiones. Curl es algo así como tomar la primera derivada (el gradiente) de la manera normal, pero luego tomar la segunda derivada en ángulo recto con respecto a la primera. Aunque es difícil de imaginar, lo que termina es otro tipo de flujo. Pero esta vez, en lugar del flujo neto hacia o lejos de ti, el rizo mide el flujo neto que circula a tu alrededor . A diferencia de la divergencia, el rizo es una cantidad vectorial, porque representa un tipo de rotación, y dado que la rotación es siempre sobre algún eje, el eje tiene que apuntar en alguna dirección.

Y eso, en pocas palabras, es lo que significan la divergencia y el rizo.

gracias por a2a
Tome un campo vectorial, [matemáticas] \ vec {f} = u (x, y, z) \ vec {i} + v (x, y, z) \ vec {j} + w (x, y, z) \ vec {k} [/ math] donde, como siempre , i, j, k son vectores unitarios, y u, v, w es la intensidad de campo en un punto. La divergencia en general denotamos por D, y por G el caso de un campo, gravedad o carga “normal” en el espacio euclidiano es:

[matemáticas] D (\ vec {f}) \ equiv \ nabla \ vec {f} = \ frac {\ partial U (x, y, z)} {\ partial x} + \ frac {\ partial V (x, y, z)} {\ partial y} + \ frac {\ partial W (x, y, z)} {\ partial z} \ rightarrow \\ G (\ vec {f}) = \ frac {-2} { (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} (x \ vec {i} + y \ vec {j} + z \ vec {k}). [/matemáticas]
Para G en el caso escalar obtenemos la relación inversa inversa al cuadrado normal. (Aquí x, y, z es la coordenada de un punto con origen de la fuente del campo.
Suponga que tiene un cargo en [0,0,0] y [1,0,0]. La divergencia es:
[matemáticas] G (\ vec {f}) = \ frac {-2} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} (y \ vec {j} + z \ vec {k}) + \ vec {i} [\ frac {-2x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} – \ frac {2 (x-1)} {(x-1) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3}]. [/matemáticas]
Tenga en cuenta que G (.5,0,0) = 0 como se esperaba. ¿Esto ayuda?

Estrictamente hablando, un vector no tiene divergencia, un campo vectorial sí.

La divergencia de un campo vectorial [math] \ vec {F} [/ math] en un punto [math] \ vec {P} [/ math] se define como

[matemáticas] \ displaystyle \ nabla \ cdot \ vec {F} = \ lim_ {V \ to 0} \ iint _ {\ partial V} \ vec {F} \ cdot d \ vec {S} [/ math]

donde [matemática] \ parcial V [/ matemática] es una superficie cerrada arbitraria que encierra el punto [matemática] \ vec {P} [/ matemática] y el límite se toma en el sentido de que el volumen encerrado por la superficie se aproxima a cero. Intuitivamente, este límite representa el flujo neto hacia el exterior desde el punto [math] \ vec {P} [/ math].

El teorema de divergencia nos dice que

[matemáticas] \ displaystyle \ iiint_ {V} \ frac {\ partial F_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial F_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial F_z} {\ partial z} \, dV = \ iint _ {\ parcial V} \ vec {F} \ cdot d \ vec {S} [/ math]

para una superficie cerrada, lisa por partes [matemática] \ parcial V [/ matemática]. Este teorema implica que

[matemáticas] \ displaystyle \ nabla \ cdot \ vec {F} = \ frac {\ partial F_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial F_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial F_z} {\ parcial z} [/ matemáticas]

cual es el método usual para calcular la divergencia de un campo vectorial.

La divergencia, intuitivamente, es una medida de cuánto fluye dentro o fuera de un cierto punto en un campo vectorial. Una divergencia positiva en un punto [matemático] a [/ matemático] significa que hay más vectores cercanos apuntando hacia [matemático] a [/ matemático] que señalando desde [matemático] a [/ matemático], y una divergencia negativa significa que hay están más señalando que en.

Para calcular la divergencia de un campo vectorial escrito paramétricamente, tome la derivada parcial del término x con respecto a x, luego la derivada parcial del término y con respecto a y, etc., luego sume todas las derivadas parciales.

Hay una bañera en mi casa. Abro el grifo y lo tapo, comienza a llenarse de agua. Si observara la divergencia de la superficie cerrada * de la bañera, podría decir que es mayor que cero, porque el flujo neto es positivo (el agua se está llenando).

Ahora, desconecto el grifo. Observo que el nivel del agua no cambia. Entonces, la cantidad de agua que entra es la misma que la cantidad de agua que sale. No tiene flujo neto. Su divergencia es cero.

Finalmente, abro un agujero en el costado de la bañera y toda el agua sale corriendo mientras todavía estoy tratando de llenar sin éxito un tubo de 4 lados. Su flujo neto es negativo (el agua se está vaciando).

Moraleja: divergencia ~ flujo de entrada – flujo de salida (agua de entrada – salida de agua).