Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial topológico completo que está equipado con un producto interno.
Algunas definiciones rápidas
- Espacio topológico: podemos definir conjuntos abiertos y vecindarios alrededor de puntos. También podemos definir continuidad y convergencia
- Espacio vectorial: podemos multiplicar elementos por escalares para hacerlos más grandes, y podemos agregar elementos juntos. Generalmente podemos tomar combinaciones lineales de cosas.
- Espacio completo: no hay agujeros cuando tomamos límites de secuencias. Si estamos convergiendo en algo, también está en nuestro espacio.
- Espacio interno del producto: podemos medir el ángulo entre dos elementos en nuestro espacio, y podemos usar proyecciones para descomponer elementos en una base. Los espacios de productos internos también son espacios vectoriales normalizados, que también son espacios métricos.
En Cálculo multivariante y álgebra lineal, generalmente trabajas con espacios vectoriales de objetos llamados ‘vectores’. Tienen componentes y se pueden agregar entre sí y multiplicarse por escalares. El producto interno se conoce como el producto de punto. Has estado trabajando con un tipo de espacio de Hilbert todo el tiempo.
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[matemáticas] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemáticas] es solo otro tipo de espacio de Hilbert. Simplemente resulta ser de dimensión infinita. Es el espacio de las funciones integrables cuadradas sobre el conjunto [matemática] X [/ matemática] con respecto a la medida [matemática] \ mu [/ matemática], que generalmente es la medida de Lebesgue. El producto interno está dado por la integral
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int_ {X} f \ bar {g} d \ mu [/ math]
Ahora en cuanto a la pregunta sobre si es un subespacio de otro espacio de Hilbert. Claro, por qué no, podemos hacer otro espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático] que se define en un conjunto más grande, o podríamos usar una medida diferente, o podemos hacer un espacio Hilbert que sea un producto cartesiano de [ matemáticas] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemáticas] y otro espacio de Hilbert. Y así.
En general, los espacios [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos] no son espacios de Hilbert. Para [math] p \ ge 1, p \ ne 2 [/ math] es un espacio con menos estructura llamado espacio de Banach, que no tiene un producto interno, pero aún tiene una norma.
