A primera vista, esta es una pregunta extraña, porque si tienes la serie de Fourier de una función, entonces sabes cuál es la función. Es precisamente:
[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ \ infty a_n e ^ {2 \ pi nix} [/ math].
Esto está perfectamente bien definido: dada cualquier entrada [matemática] x [/ matemática], puedo expresar la salida [matemática] f (x) [/ matemática]. Si los coeficientes [math] a_n [/ math] son computables, entonces esta función es incluso computable.
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Sospecho que lo que realmente quería preguntar era algo más parecido a esto: dada la serie de Fourier de una función, ¿puede descubrir cómo escribir esta función como una composición finita de polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos?
Es decir, ¿puedes expresar la función como una función Elemental?
La respuesta a esto es ‘no’: una serie arbitraria de Fourier casi nunca corresponderá a una función elemental. Por ejemplo, si tuviera que elegir aleatoriamente coeficientes para su serie de Fourier (por ejemplo, muestreando [matemática] a_n [/ matemática] uniformemente entre 0 y [matemática] 1 / n ^ 2 [/ matemática]), la probabilidad de que lo haría obtener una función elemental sería cero.
Queda una pregunta: si la serie de Fourier corresponde a una función elemental, ¿hay algún algoritmo que produzca esta función elemental?
No sé la respuesta a esta pregunta, pero me sorprendería mucho si tal algoritmo existe.
