Los problemas de variación son, por lo general, muy interesantes. Especialmente porque solo podemos resolver un pequeño subconjunto de ellos.
En el caso de la braquistocrona, estamos observando dicha trayectoria (una función del tiempo) que minimiza el intervalo de tiempo total del objeto que se mueve de A a B (una función del tiempo). Hablando matemáticamente, necesitamos observar la variación de lo funcional y encontrar para qué trayectoria es cero; cuando la variación es cero, estamos cerca de un extremo local de lo funcional, en nuestro caso el mínimo. Podemos reformular esto usando una derivación variacional. Lo curioso es que una gran parte de la física está directamente relacionada con estos problemas variacionales. Toda la mecánica clásica y muchos problemas de mecánica cuántica son el resultado de ecuaciones de movimiento derivadas variacionalmente. Así que ciertamente hay muchos problemas fascinantes.
Sobre los problemas variacionales no resueltos que mencioné, uno que me gusta mucho es el problema de un corredor rectilíneo 2D de ancho constante con un giro de 90 grados. Imagínense un corredor en forma de L visto desde arriba. ¿Cuál es el objeto más grande (en términos de área) que puede llevar a través del corredor? Puedes imaginar una bola del mismo diámetro que el corredor; ciertamente puedes hacerla rodar por la curva. ¿Qué pasa con una caja rectangular de longitud lateral igual al ancho del corredor? Ciertamente es más grande que la pelota y encaja. ¿Pero podemos hacerlo mejor? ¿Cuál es la forma del objeto que maximiza el área para un ancho de corredor dado? No lo sabemos Dado que este problema se puede hacer aún más difícil al considerar un corredor 3D, cada vez que tengo que mover un gran mueble a través de una escalera, no puedo evitar preguntarme cuál es la respuesta a la pregunta anterior: problema de mover el sofá – Wikipedia .
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Algo más similar al problema de la braquistocrona es el problema de la forma de una cadena que cuelga entre dos puntos. ¿Cuál es la forma que asume una cadena cuando cuelgas por sus extremos entre los puntos A y B? Sabemos que no es una línea recta. Tampoco es una forma de V. Es más una forma de U , pero ¿qué curva es? Una parábola? ¿Una braquistocrona u otro cicloide? ¿Seno o coseno o incluso alguna función trigonométrica hiperbólica? ¿Quizás una elipse o un segmento circular?
Estamos buscando la posición de equilibrio de la cadena. El equilibrio puede verse como el estado con la energía potencial más baja, o puede verse como el estado con cero fuerzas netas (descripciones equivalentes). Para describir el problema, puede caracterizar toda la cadena mediante una energía funcional que desea minimizar, o puede observar cada segmento de la cadena y pensar cuándo las fuerzas que actúan sobre cada una se cancelan localmente. De cualquier manera, también es un problema interesante: Catenaria – Wikipedia y bien vale la pena leer.
