No puedes probar matemáticamente una ecuación física. Puede deducirlo utilizando una teoría subyacente, puede utilizar algún método indirecto, como el análisis dimensional, para motivar la ecuación, pero la única ‘prueba’ que tenemos es el experimento.
Se puede derivar de la mecánica clásica no relativista al observar dos marcos de referencia. Uno de ellos inercial (por ejemplo, estacionario) y el otro girando con una frecuencia angular [math] \ vec {\ omega} [/ math] (que es un vector ya que también define el eje alrededor del cual está el marco referencial hilado). Ahora tiene que hacer algunos cálculos, no lo copiaré aquí, se puede encontrar, por ejemplo, aquí: Derivación de la fuerza centrífuga y coriolis. Al final, se obtiene una aceleración ficticia en el marco de referencia giratorio, la parte que nos interesa es la aceleración centrífuga [matemáticas] \ vec {a} = \ vec {\ omega} \ times (\ vec {\ omega} \ times \ vec {r}) [/ math]. Si el marco de referencia gira en círculos, el ángulo entre el vector de posición y la frecuencia angular es correcta y la distancia desde el centro de la trayectoria es constante, llámelo [math] r [/ math], para que podamos escribir [ matemáticas] a = \ omega ^ 2 r [/ matemáticas].
Ahora imagine mirar una parte infinitesimal de la trayectoria circular. En un tiempo infinitesimalmente corto [math] dt [/ math], el marco de referencia, objeto, planeta o lo que sea dado se mueve solo un poco [math] dl [/ math]. Efectivamente corta una rebanada de pizza muy, muy delgada del círculo alrededor del cual se mueve, tan delgada que podemos verla, básicamente, como un simple triángulo. La velocidad se define como [matemática] dl / dt [/ matemática], (el cambio de posición en el tiempo). Pero también podemos usar nuestro triángulo isósceles para calcular esto, ya que sabemos sus lados [matemática] r [/ matemática] y el pequeño ángulo opuesto a la base es simplemente [matemática] \ omega dt [/ matemática]. De esto podemos expresar aproximadamente la longitud [math] dl [/ math] como [math] dl = r \ omega dt [/ math] y, dividiendo por [math] dt [/ math] obtenemos una expresión para la velocidad en la forma de [math] v = r \ omega [/ math], de la cual [math] \ omega = v / r [/ math]. Esta expresión aproximada se vuelve exacta una vez que tomamos el límite de [math] dt \ rightarrow 0 [/ math]. Ahora solo necesitamos conectar esto a la aceleración centrífuga y obtenemos [math] a = v ^ 2 / r [/ math].
Sin todas estas matemáticas, podría motivar esta elección de expresión al observar todos los parámetros relevantes del problema físico e intentar reunirlos de tal manera que obtenga las unidades deseadas. O, una vez que tome esta ecuación como concedida, verifique que las unidades de ambos lados sean iguales. Esto se llama análisis dimensional y es una herramienta muy simple pero útil cuando necesita verificar, si lo que calculó puede ser cierto o es completamente loco. No hay muchas maneras de combinar los relativamente pocos parámetros del problema. Solo tenemos dos marcos de referencia descritos por su movimiento relativo: velocidad relativa, frecuencia angular, distancia, y eso es básicamente todo, si no estoy cometiendo un error. Entonces, una vez que juegue con estas cantidades y sus unidades correspondientes, encontrará rápidamente una de las expresiones de la aceleración angular anterior.
Como mencioné antes, solo podías ‘probarlo’ experimentalmente. Por ejemplo, atar un Newtonímetro de masa conocida a un hilo de longitud conocida y girarlo con una frecuencia conocida le permitiría verificar la fuerza centrífuga medida contra la predicción teórica. Una vez que corrija los errores sistemáticos y la precisión de las cantidades medidas, en determinadas circunstancias, obtendrá una probabilidad de que la expresión que utilizó le proporcione los resultados medidos experimentalmente. Mejorar su configuración experimental, hacerlo al vacío, usar una centrífuga en lugar de un brazo giratorio y un hilo, una cámara de alta velocidad para monitorear la configuración, etc. podría aumentar la probabilidad de que la fórmula utilizada sea ‘correcta’.
