A2A. Creo que [math] e [/ math] y [math] \ pi [/ math] fueron descubrimientos. Es más una pregunta filosófica que matemática, pero daré mi opinión de todos modos.
La distinción entre “descubrimiento” e “invención” no parece ser absoluta; al menos no he visto ninguna forma de definirlo que lo haga completamente en blanco y negro. Me parece una diferencia de grado, más que una diferencia de tipo.
La diferencia entre descubrimiento e invención me parece similar y estrechamente relacionada con el concepto de un “objeto”, donde, por lo que puedo ver, hay un continuo desde los objetos que parecen simplemente existir, hasta los objetos que parecen abstracciones impuestas por nosotros. en la naturaleza En un extremo del espectro hay muchos objetos en el mundo que en la superficie parecen tener un estado como “objeto” no porque elijamos considerarlos objetos o designarlos como objetos, sino aparentemente porque la naturaleza misma los presenta para nosotros como objetos. Cuando se descubrió el diamante Hope (y pensamos que es un descubrimiento seguro) que el descubridor identificó ese montón particular de moléculas como algo natural para hablar. Si ciertos átomos de carbono se cuentan como “parte del diamante Hope” o no, no parece especialmente opcional. Luego hay agregados que ya no parecen tan completamente naturales, aunque de alguna manera aún son apropiados. Pirsig en Zen y el arte del mantenimiento de motocicletas ofrece algunos ejemplos relacionados con la reparación de vehículos. Creo que uno de ellos podría haber sido el “sistema de escape” de un automóvil. Cuánto o poco decide contar como “parte del sistema de escape” es un poco más opcional que si algunos átomos de carbono son “parte del diamante Hope”. Algunos de nosotros veríamos este concepto de “sistema de escape” como más como “simplemente” una conveniencia para las personas que hablan de automóviles. Tener dicho término hace que sea un poco más fácil referirse a las partes individuales que lo componen sin tener que nombrarlas individualmente. Es un buen término si las ventajas son mayores que las desventajas, lo que parece más una opción meramente pragmática. En el otro extremo del continuo, si elegimos un agregado lo suficientemente arbitrario y lo describimos como un “objeto”, se convierte más en una invención arbitraria que un mero reconocimiento de una “cosa” existente. Si digo que quiero llamar al dedo meñique izquierdo de George Bush Jr. junto con mi dedo gordo derecho “sistema Q”, bueno, este agrupamiento no tiene esencialmente nada que ver.
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Hasta donde puedo ver, todo el continuo aquí es una serie de tonos de gris. Encuentro plausible la filosofía constructivista que considera que los “objetos” en cualquier parte del continuo, incluyendo cosas como el diamante Hope, son en cierta medida construcciones conceptuales de nuestra parte. Como parte del proceso de llegar a un acuerdo con el mundo, desarrollamos la idea de esto como algo. Por muy natural que sea una elección, pensar en las partes componentes como pertenecientes entre sí, sigue siendo hasta cierto punto una elección. Así que creo que hay un elemento de “artificial” en el concepto. Por otro lado, creo que podemos hablar razonablemente de grados de naturalidad incluso en el extremo opuesto del espectro. Incluso el “sistema Q” es más natural que las ideas que uno produciría al tomar subconjuntos completamente aleatorios de los dígitos de las personas del mundo.
Propongo, como criterio, si una cosa cuenta como un descubrimiento, que sea bastante probable que otra persona que se encuentre en las mismas circunstancias iniciales vuelva a encontrar la misma cosa. Entonces, por ejemplo, imagine que cuando se descubrió el diamante Hope, íbamos a agarrar a los descubridores y borrar sus recuerdos del descubrimiento, llenar la mina en la que estaban trabajando y reemplazar a todos los involucrados con un nuevo equipo. ¿Qué es probable que suceda? Parece al menos bastante probable que simplemente excaven la mina nuevamente, encuentren el mismo diamante nuevamente y le den un nombre nuevamente.
Me he preguntado si sería factible aplicar la teoría de la información para discernir la distinción entre invención y descubrimiento. Si se necesita poca información suficiente para identificar una cosa, parece que eso implica que era algo relativamente natural de identificar, mientras que si se necesita mucha información, es una construcción artificial relativamente arbitraria. Hay un campo llamado teoría de información algorítmica que podría ser aplicable aquí. Podríamos intentar, por ejemplo, representar [math] e [/ math] o [math] \ pi [/ math] con la menor cantidad posible de bits de datos.
En cualquier caso, mi impresión es que [matemática] e [/ matemática] y [matemática] \ pi [/ matemática] son relativamente naturales, en el sentido de que si uno pudiera reiniciar la civilización en un lugar aislado, la nueva civilización se cerraría hablando de ellos otra vez. Me doy cuenta de que es muy fácil cometer el error de pensar que las cosas que le son familiares son más “naturales” de lo que son. Probablemente sufro este sesgo en muchas ocasiones. Pero todavía creo que estoy en lo correcto en este caso. Hay muchos problemas cuya solución es relativamente sencilla de explicar en términos de la función exponencial [matemática] \ exp (x) = e ^ x [/ matemática] (que quizás sea aún más natural que [matemática] e [/ matemática] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]). No es exactamente lo mismo que navegar hacia el oeste desde Europa y ver qué grandes masas de tierra dan tu golpe, pero deambulando por el vecindario matemático de [math] \ exp [/ math], parece que sigues tropezando con él, ya sea que quisieras o no. Entonces ver que puedes escribir [math] \ exp (x) = \ exp (1) ^ x [/ math] y darle un nombre a [math] exp (1) [/ math] también parece realmente natural. No lo llaman exponencial natural (y es el registro natural inverso) por nada.
Cuando se trata de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] la situación es un poco más débil. Creo que es muy probable que la pequeña civilización que reiniciaste termine dando un nombre no a [math] \ pi [/ math] sino a [math] 2 \ pi [/ math]. Es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] que sigue apareciendo matemáticamente. En el plano complejo, [math] \ exp [/ math] es una función periódica con período [math] 2 \ pi i. [/ Math] La constante [math] 2 \ pi [/ math] es solo la parte imaginaria de el período. Fue un tipo de accidente histórico que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es el que terminó con un nombre propio. Por supuesto, ahora hay personas que han decidido referirse a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] como [matemáticas] \ tau [/ matemáticas], por lo que en realidad tiene su propio nombre ahora. Todavía usamos el nombre [math] \ tau [/ math] con mucha menos frecuencia que [math] \ pi [/ math]. Por lo tanto, existe cierta arbitrariedad en el uso del uno en lugar del otro. Sin embargo, todavía tengo la sensación de que es apropiado describir a los matemáticos como “descubiertos” [matemáticos] \ pi [/ matemáticos] en lugar de “inventados”. Sin embargo, pienso en la línea entre los dos como difusa, y no considero totalmente inapropiado también decir que se inventó [math] \ pi [/ math].
