Espero entender lo que está pidiendo (es decir, que está usando el término mapa para referirse a mapeo, que aquí es sinónimo de función); si no, házmelo saber.
Los mapas complejos son en realidad mejores que los reales en que una función [matemática] f (z) [/ matemática] es analítica si y solo si es holomórfica ( es decir , es compleja diferenciable dentro de una vecindad de todos los puntos en el dominio de [ matemáticas] f [/ matemáticas]). Así que elegimos centrarnos aquí en las asignaciones complejas, porque son de un dominio más amplio y al menos tan simples como las asignaciones analíticas reales cuya definición a menudo implica series de potencia.
Un ejemplo de una función analítica (nos atendremos al caso complejo por simplicidad) sería [math] f (z_0) = e ^ {z_ {0}} [/ math], mientras que un ejemplo de una función no analítica sería [math] f (z) = | z | ^ 2 [/ math], también conocido como el módulo de [math] z [/ math], que tiene algunas formas alternativas como [math] x ^ 2 + y ^ 2 [/ math], [math] re ^ {i \ theta} [/ math], etcétera .
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Probablemente sea más fácil analizar por qué el contraejemplo es válido. La función debe ser diferenciable para ser analítica, así que aquí están las ecuaciones (complejas) de Cauchy-Riemann que deben cumplirse
[matemáticas] i \ frac {\ partial f} {\ partial x} = \ frac {\ partial f} {\ partial y} \; \; \; (1) [/ matemáticas]
Vemos que [math] f (z) [/ math] satisface (1) solo en el origen [math] (0, 0) [/ math], ergo, es diferenciable allí. Sin embargo, la función no es analítica en el origen, porque no hay un conjunto abierto que contenga el origen y donde [math] f [/ math] sea diferenciable.
Para ver por qué [math] f (z_0) [/ math] es analítico, simplemente tomamos su derivada usando (1), una tarea que animo al lector a hacer por sí mismo si la respuesta no es clara, y vemos que [math] f ‘(z_0) = e ^ {z_ {0}} [/ math] en todo el plano complejo [math] \ mathbb {C} [/ math], convirtiéndolo en una función completa. Una función que es complejamente diferenciable en todo el plano complejo es claramente holomórfica y, por lo tanto, analítica.
